數(shù)值分析上機(jī)題

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1、數(shù)值分析上機(jī)題一、城市水管應(yīng)埋于地下多深1、問題背景在冬季寒冷的大城市，必須保證埋于地下的水管不凍結(jié)。在寒冷季節(jié)，地面土壤的溫度很低，而越深入地下溫度越高。因此，水管應(yīng)該埋得越深越好。但相應(yīng)的施T難度及成本也越大。問：在保證水管不凍結(jié)，埋水管的深度如何確定。2、建模由于土壤的熱傳導(dǎo)作用，冬季寒流到來后，地下土壤的溫度會(huì)逐漸降低，因此，它既是深度X,也是時(shí)間t的函數(shù)。經(jīng)仔細(xì)分析，有如下方程：器=曲2冷)說明:T(x,t):土壤溫度函數(shù)，x為深度，t為吋間。Ti:寒流到來前的正常土壤溫度Ts:寒流季節(jié)的地面溫度2erf(x)=-^=^e~ld

2、ta:土壤熱傳導(dǎo)系數(shù)x:土壤深度t:寒流持續(xù)時(shí)間易知，方程左端為0到1之間，t二0時(shí)值為1,x二0時(shí)值為0要確定最合適的深度，可假設(shè)寒冷最長吋間為5由于0°C為結(jié)冰溫度，則T(x,t)二0對(duì)度的x為所求。于是有：TpipeM三Tgm）=Ts+⑺—以）￡聲（血）=03、求解條件a=0.138eW6m2/5,7]=20叱，兀=_15叱，tm=60二、Google的PageRank算法1、問題背景互聯(lián)網(wǎng)(internet)的使用已經(jīng)深入到人們的日常生活中，其巨大的信息量和強(qiáng)大的功能給生產(chǎn)、生活帶來了很大的便利。隨著網(wǎng)絡(luò)信息量越來越寵大，如何有效

3、地搜索出用戶真正需要的信息變得十分重要?？?998年搜索引擎網(wǎng)站Google創(chuàng)立以來，網(wǎng)絡(luò)搜索引擎成為解決上述問題的主要手段。1998年，美國斯坦福大學(xué)的博士生LarryPage和SergeyBrin創(chuàng)立了Google公司，他們的核心技術(shù)就是通過PageRank技術(shù)對(duì)海量的網(wǎng)頁進(jìn)行重要性分析。該技術(shù)利用網(wǎng)頁相互鏈接的關(guān)系對(duì)網(wǎng)頁進(jìn)行組織，確定出每個(gè)網(wǎng)頁的重要級(jí)別(PageRank)。當(dāng)用戶進(jìn)行搜索時(shí)，Google找出符合搜索要求的網(wǎng)頁，并按他們的PageRank大小依次列出。這樣，用戶一般在顯示結(jié)果的第一頁或者前幾頁就能找到真正有用的結(jié)果。

4、PageRank技術(shù)的基本原理是：如果網(wǎng)貝A鏈接到網(wǎng)頁B,則認(rèn)為“網(wǎng)頁A投了網(wǎng)頁B—票”，而且如果網(wǎng)頁A是級(jí)別高的網(wǎng)頁，則網(wǎng)頁B的級(jí)別也相應(yīng)地高。2、數(shù)學(xué)建模假設(shè)n是Internet中所有可訪問網(wǎng)頁的數(shù)目，此數(shù)值非常大，在2010年已接近100億。定義nxn的網(wǎng)頁連接矩陣G=（gij）,若從網(wǎng)頁j有一個(gè)鏈接到網(wǎng)頁i,則gij=l,否則gij=0o矩陣G有如下特點(diǎn):（1）G矩陣是大規(guī)模稀疏矩陣；（2）第j列非零元素，表示了從網(wǎng)頁j鏈接出去的所有網(wǎng)頁；（3）第i行非零元素，表示了鏈接到網(wǎng)頁i的所有網(wǎng)頁；（4）G屮非零元素的數(shù)目為整個(gè)Inter

5、net川存在的超鏈接的數(shù)量；（5）記G矩陣行元素之和r]=》gij,它表示第i個(gè)網(wǎng)頁的“入度”;j（6）記G矩陣列元素之和勺=》g「它表示第j個(gè)網(wǎng)頁的“出度”。I要計(jì)算PageRank,可假設(shè)一個(gè)隨機(jī)上網(wǎng)“沖浪”的過程，即每次看完當(dāng)前網(wǎng)頁后，有兩種選擇：（1）在當(dāng)前網(wǎng)頁中隨機(jī)選一個(gè)超鏈接進(jìn)入下一個(gè)網(wǎng)頁；（2）隨機(jī)地新開一個(gè)網(wǎng)頁。這在數(shù)學(xué)上稱為馬爾可夫過程，若這樣的隨機(jī)“沖浪”一直進(jìn)行下去，某個(gè)網(wǎng)頁被訪問到的極限概率就是它的PageRanko設(shè)p為選擇當(dāng)前網(wǎng)頁上鏈接的概率（比如，p=0.85）,則l?p為不選當(dāng)前網(wǎng)頁的鏈接而隨機(jī)打開一個(gè)網(wǎng)頁

6、的概率。若當(dāng)前網(wǎng)頁是網(wǎng)頁j,則如何計(jì)算下一步瀏覽到達(dá)網(wǎng)頁i的概率（網(wǎng)頁j到i的轉(zhuǎn)移概率）？它有兩種可能性：（1）若網(wǎng)頁i在網(wǎng)頁j的鏈接上，其概率為pxl/cj+Cl-p）x1/n；（2）若網(wǎng)頁i不在網(wǎng)頁j的鏈接上，其概率為（l-p）x1/n由于網(wǎng)頁i是否在網(wǎng)頁j的鏈接上由g.j決定，網(wǎng)頁j到i的轉(zhuǎn)移概率為：勺p)?￡+(l—P)?小晉+乎應(yīng)注意到的是，若Cj=O意味著gjj=O,上式改為aij=l/no任意兩個(gè)網(wǎng)頁之間的轉(zhuǎn)移概率形成了一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣A=扁)，設(shè)矩陣D為各個(gè)網(wǎng)頁出度的倒數(shù)(若沒有出度，設(shè)為1)構(gòu)成的n階對(duì)角陣，e為全是1的n維

7、向量，貝IJ:A=pGD+^-eq設(shè)xki=1,2,??異表示某時(shí)刻k瀏覽網(wǎng)頁i的概率=1),向量表示當(dāng)前時(shí)刻瀏覽各網(wǎng)頁的概率分布。那么下叩寸刻瀏覽到網(wǎng)頁i的概率為士€1護(hù)屮,此時(shí)瀏覽各網(wǎng)頁的概率分布為x(k+1)=Ax(k)./=>當(dāng)這個(gè)過程無限進(jìn)行下去，達(dá)到極限情況，即網(wǎng)頁訪問概率乂⑴收斂到一個(gè)極限值，這個(gè)極限向量x為各網(wǎng)頁的PageRank,它滿足Ax=x,n且￡坷=1i=l3、計(jì)算PageRank