中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用拋物線的對稱性解題

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1、利用拋物線的對稱性解題二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象是關(guān)于直線x=-—成軸對稱的圖形，利用拋物線的2a對稱性解題也是屮考的熱點2—，現(xiàn)分類例析如下，供教學(xué)參考.一、求頂點坐標(biāo)例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標(biāo)滿足下表：X???-3-2-101???y???-3-2-3■6-1???該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為()(A)(-3,一3)(B)(-2,-2)(C)(—1,—3)(D)(0,—6)解觀察表中當(dāng)x=—3或一1吋，y=—3,由拋物線的對稱性，對稱軸為直線x=-2,故頂點坐標(biāo)為(一2,-2),所以應(yīng)選B.點評本題是用表格給出二次函數(shù)y=ax?+bx+c的信息，觀

2、察出當(dāng)x=—3或一1時,y=—3,是解題的關(guān)鍵.二、判斷點在圖象上例2若二次函數(shù)y=ax?的圖象經(jīng)過點P(-2,4),則該圖象必經(jīng)過點()(A)(2,4)(B)(-2,-4)(C)(-4,2)(D)(4,-2)解由二次函數(shù)y=ax?的對稱軸為y軸，又P(-2,4)關(guān)于y軸的對稱點為(2,4),所以應(yīng)選A.點評本題二次函數(shù)y=ax?的對稱軸為y軸是解題的突破口，根據(jù)拋物線的對稱性，從而P(-2,4)關(guān)于y軸的對稱點在二次函數(shù)『=&*2的圖象上.三、比較大小例3設(shè)A(-2,y)B(l,y2),C(2,y?)是拋物線y=—(x+l^+m上的三點，則yi，y2?y3的大小關(guān)系為()(A

3、)yi>y2>y3(B)yi>y3>y2(C)y3>y2>yi(D)y2>yi>y3解方法1把A、B、C三點的坐標(biāo)分別代人y=—(x+lF+m,得yi=—1+m,y2=—4+m,y3=—9+m,所以y】>y2>y3?方法2???函數(shù)的解析式是y=—(x+l^+a,如圖1,???對稱軸是x=—l,???點A關(guān)于對稱軸的點A，是(0,yD，那么點AlB、C都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊，隨x的增大而減小，于是y】>y2>y3，故選A.點評代入法是比較函數(shù)值大小的一種常用方法；數(shù)形結(jié)合法，當(dāng)拋物線開口向下的時候離對稱軸越近，對應(yīng)的函數(shù)值越大，當(dāng)拋物線開口向上的時候離對稱軸越近，對應(yīng)的

4、函數(shù)值越小.四、求與X軸交點坐標(biāo)例4如圖2,二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,圖象經(jīng)過(3,0),下列結(jié)論中，正確的是()(A)abc<0(B)2a+b<0(C)a-b+c<0(D)4ac-b2<0解(A)根據(jù)圖2知，拋物線開口方向向上，則a>0.拋物線的對稱軸x=—￡=l>0,則b<0.拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則cvO,所以abc>0.故本選項錯誤.(A)Vx=-—=1,???b=—2a,???2a+b=0.故本選項錯誤.2a(B)對稱軸為直線x=l,圖象經(jīng)過(3,O),???該拋物線與X軸的另一交點的坐標(biāo)是(一1,0),???當(dāng)x=—l時，y=

5、0,即a—b+c=O.故本選項錯誤.(C)根據(jù)圖2知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，則=b2-4ac>0,則4ac~b2<0.故木選項止確.故選D.點評本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)y=ax?+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與)，軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定，選項C中求拋物線x軸的另一交點，要妙用其對稱性.五、求不等式的解集例5如圖3是二次函數(shù)y=ax?+bx+c的部分圖象，由圖彖可知不等式ax2+bx+c<0的解集是()(A)—15(C)x<—1,且x>5(D)x<—1,或x>5解由二次函數(shù)的對稱性，已知了對稱軸直線x

6、=2和與x軸的一個交點坐標(biāo)(5,0)即可得出另一個交點坐標(biāo)(T，0)；再由不等式ax2+bx+c<0的解集即得x取值范圍，故選D.圖3點評本題主要考查了函數(shù)圖象與不等式之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想不難選出D選項，但木題如果對數(shù)形結(jié)合思想的不理解或不能熟練運用，有可能會采取代入對稱軸直線及與X軸交點坐標(biāo)的方法運算，則比較繁瑣.六.求拋物線解析式例6如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(l,0),B(3,0),且過點C(0,—3).⑴求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y=—x上，并寫出平移后拋物線的解析式.y0!/

7、'cl[圖4解(1)方法1把點"(1,0),8(3,0)-3)分別代入y=ax+bx+c,得r°=a+b+c,ra=-1,9a+3b+c,解之，得6=4,'-3=c.?c=一3,???拋物線解析式為y=-x2+4x-3.*.*y--x+4%-3-2)2+1,????頂點坐標(biāo)(2,1).方法2???拋物線與兀軸交于點4(1,0),〃(3,0),拋物線的對稱軸為直線九=2,???可設(shè)拋物線解析式為y-a(x-2)2+k.把點4(l,0),C(0,-3)分別代入y=a(x-2)2+A：,得?(