圓錐曲線中地最值問(wèn)題和定值問(wèn)題專(zhuān)題

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1、實(shí)用文檔與圓錐曲線有關(guān)的幾個(gè)最值問(wèn)題平面解析幾何是一門(mén)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的學(xué)科，圓錐曲線中的范圍問(wèn)題或最值問(wèn)題較為常見(jiàn)，所涉及的知識(shí)面也較為廣泛，是教師和同學(xué)感覺(jué)較為棘手一個(gè)難點(diǎn)。下面就幾個(gè)常見(jiàn)的最值問(wèn)題談幾個(gè)常見(jiàn)的解決方法。一、圓錐曲線上的任一點(diǎn)與圓錐曲線對(duì)稱軸上某一定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題：求圓錐曲線上任一點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可借助“點(diǎn)在曲線上”實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，將橫縱坐標(biāo)兩個(gè)變量中的一個(gè)用另一個(gè)表示，構(gòu)造關(guān)于其中一個(gè)坐標(biāo)的二次函數(shù)求最值。例1、（06全國(guó)高考題）設(shè)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

2、，求的最大值。解：由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為。設(shè)，則，（圖一）因?yàn)槭菣E圓上的點(diǎn)，所以，則有，且，所以令因?yàn)?，所以，則若，即，則當(dāng)時(shí)，；若，即，則當(dāng)時(shí)，；若，即，則當(dāng)時(shí)，。綜上：略。說(shuō)明：在圓錐曲線上任一點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題中，所給定點(diǎn)一般都是圓錐曲線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)，否則變量統(tǒng)一往往比較困難。例2、（03上海理12）給出問(wèn)題：是雙曲線大全實(shí)用文檔的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上。若點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離。某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由，即，得或17。該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)寫(xiě)出他的解題依據(jù)

3、；若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)果。分析：利用例1的方法易證，雙曲線上到其一焦點(diǎn)的距離最近的點(diǎn)是與這個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一支的頂點(diǎn)，即。所以本例中，故符合題意。二、與圓錐曲線的定義所涉及的一些特殊點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題：求圓錐曲線上任一點(diǎn)與一個(gè)或幾個(gè)定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題中，如果所給定點(diǎn)與圓錐曲線定義有關(guān)，不妨利用定義中所蘊(yùn)藏的內(nèi)在關(guān)系解決問(wèn)題。例3、（06江西高考題）為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是圓和的點(diǎn)，則的最大值是。解：如圖三，兩定圓的圓心、即雙曲線的左右焦點(diǎn)，由雙曲線定義可知。又，，所以。MPNF1F2xyF1AM//M/Bxy（圖

4、二）（圖三）例4、已知是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值。解：由題意，點(diǎn)即橢圓右焦點(diǎn)（如圖三），設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則大全實(shí)用文檔，由橢圓定義可知，則，顯然，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，所以，。說(shuō)明：三角形中“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，“兩點(diǎn)之間線段最短”等平面幾何中的一些重要結(jié)論是平面解析幾何中求解最值問(wèn)題的一些理論依據(jù)，問(wèn)題在于如何將所要解決的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這些廣為人知的數(shù)學(xué)模型。三、圓錐曲線上的任意點(diǎn)到某一定直線的距離的最值問(wèn)題：求圓錐曲線上任一點(diǎn)到某一定直線的距離的最值，借助“點(diǎn)在曲線上”

5、實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一往往比較困難，這時(shí)可借助“切線平移法”實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一或“三角代換”求最值。例5、（06全國(guó)高考題）求拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值。解法一：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為，下面同例1解法易得。解法二：（切線平移法）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，則直線平移到與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)即拋物線上到直線最近的點(diǎn)，直線與的距離即所求最小距離。由，則由△。則拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為。說(shuō)明：在求橢圓或雙曲線一支上的一點(diǎn)到一條定直線的距離的最值問(wèn)題中，“變量統(tǒng)一”很難做到，在這種情況下，“切線平移法”就

6、顯得較為方便。例6、求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值。解法一：（切線平移法）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，由，則由△，則，則。大全實(shí)用文檔解法二：（三角代換法）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，因?yàn)椋钥稍O(shè)，則點(diǎn)到直線距離為，則。說(shuō)明：與圓、橢圓或雙曲線有關(guān)的最值問(wèn)題中，利用三角比中的平方關(guān)系實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一也是平面解析幾何中一種較為常見(jiàn)的方法。通過(guò)前面幾種常見(jiàn)最值問(wèn)題的贅述可以看到，解析幾何中的最值問(wèn)題和以前所學(xué)過(guò)的知識(shí)是存在著一種緊密的內(nèi)在聯(lián)系的，只要我們能夠深刻理解圓錐曲線的定義及方程所揭示的內(nèi)涵，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，

7、就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一些數(shù)學(xué)模型，將問(wèn)題解決。練習(xí)：1、（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問(wèn)5分，（Ⅱ）問(wèn)7分）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．（Ⅰ）求該雙曲線的方程；（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為大全實(shí)用文檔，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得解得從而，該雙曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，所

8、以，是圓上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，故從而當(dāng)在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為直線CD的方程為，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故由方程組解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m圓錐曲線中的恒成立問(wèn)題yOxPF2F1AB結(jié)論一、以橢圓上的點(diǎn)P與橢圓的焦點(diǎn)連線PF為直徑的圓必與圓內(nèi)切．xF1PyF2O類(lèi)比：1.以雙曲線上的點(diǎn)P與雙曲線的焦點(diǎn)連線PF為直徑的圓必與圓