圓錐曲線的定值最值與定點(diǎn)問題和圓錐曲線中的“定值”問題.docx

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1、探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題圓錐曲線中的最值與定值問題，是解讀幾何中的綜合問題，是一種典型題型，將函數(shù)與解讀融為一體，要求有較強(qiáng)的綜合能力，例析如下。一、定值問題解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1A、B是拋物線

2、過定點(diǎn)<2p，0）。例2已知拋物線方程為，點(diǎn)A、B及點(diǎn)P(2，4>都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)。<1）試證明直線AB的斜率為定值；<2）當(dāng)直線AB的縱截距為m代入10/10，得h=6。所以拋物線方程為：y－4=k(x－2>，由，消去y，得。b5E2RGbCAP所以，因?yàn)镻A和PB的傾角互補(bǔ)，所以，用－k代k，得，所以=。<2）設(shè)A

3、B的方程為y=2x+m(m＞0>，由，消去y得：，令△=16－4(2m－12>＞0，解得0＜m＜8，，點(diǎn)P到AB的距離d=，所以，=，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故△PAB面積最大值為。一、最值問題10/10解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。p1EanqFDPw例3求橢圓上的點(diǎn)P到直線L：x－2y－12=0的最大距離和最小距離。方法1：<求切點(diǎn)）設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P(x，y

4、>，由橢圓方程得此切線方程，∵，∴，即<1），又<2），解(1>(2>得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P<－2，3）P<2，－3）。設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。DXDiTa9E3d方法2：<判別式法）設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為x－2y+m=0，代入橢圓方程，消去x得，由△=得，。當(dāng)m=8時(shí)，切線方程x－2y+8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P<－2，3）；當(dāng)m=－8時(shí)，切線方程x－2y－8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P<2，－3）設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。RTCrpUDGiT方法3

5、：<參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(4cosθ，sinθ>，它到直線L的距離為10/10，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。BxyACO圖1·點(diǎn)評(píng)：方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，方法3利用橢圓的參數(shù)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡潔明了，但求切點(diǎn)的坐標(biāo)較復(fù)雜。5PCzVD7HxA例4已知定點(diǎn)A(0，3>點(diǎn)B、C分別在橢圓的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求△ABC面積的最大值。jLBHrnAILg解：橢圓的兩條準(zhǔn)線方程分別為：y=1或y=－1。點(diǎn)B在直線y=1上且設(shè)B

6、C，所以，xHAQX74J0X·=，ab=－8。==，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)△ABC面積的值最大為8。三、定點(diǎn)問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)。LDAYtRyKfECxyOFBA圖2例5<2001年全國高考）設(shè)拋物線

7、Ltk方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點(diǎn)O。dvzfvkwMI1當(dāng)k不存在時(shí)，AB⊥x軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作AD⊥l，D為垂足，則：AD∥EF∥BC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，則，，由拋物線的定義知：

8、AF

9、=

10、AD

11、，

12、BF

13、=

14、BC

15、，∴.rqyn14ZNXI點(diǎn)評(píng)：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標(biāo)法，借助代數(shù)推理進(jìn)行，又可采用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的方法進(jìn)行推理。解題思路寬，而且?guī)缀畏椒ā

16、mxvxOtOco較之解讀法比較快捷便當(dāng)，從審題與思維深度上看，幾何法的采用，源于思維的深刻性。高三二輪——圓錐曲線中的“定值”問題概念與用法圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值．具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值．SixE2yXPq5基本解題數(shù)學(xué)