凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用　　　 　文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用　　　　一、前言部分凸性理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，對(duì)策論，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和最優(yōu)控制理論等學(xué)科發(fā)展的需要，特別是在優(yōu)化領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了凸集的許多應(yīng)用之后，凸集理論日益受到人們的重視[1].而凸集的產(chǎn)生與分析學(xué)有著密切的聯(lián)系.分析學(xué)包括微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何、函數(shù)論、積分方程、變分法、泛函分析等數(shù)學(xué)分支，這些學(xué)科的總稱(chēng)也常常叫做數(shù)學(xué)分析，有時(shí)被用作是微積分的同義語(yǔ).可以說(shuō)，17世紀(jì)到19世紀(jì)上半葉的數(shù)學(xué)史，幾乎就是數(shù)學(xué)分析的歷史.17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學(xué)的研究提供了強(qiáng)有力的工具，此后的大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意力，都

2、被這有著無(wú)限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引，開(kāi)始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來(lái)愈多的物理問(wèn)題，但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對(duì)付一類(lèi)新的更復(fù)雜的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決，要解決這類(lèi)問(wèn)題需要專(zhuān)門(mén)的技術(shù)，這樣，微分方程這門(mén)學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.作為對(duì)一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支的探索，伯努利家族的貢獻(xiàn)尤為突出.在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩以及在每一點(diǎn)上的作用力都指向一個(gè)固定中心的細(xì)繩所成形狀的問(wèn)題。在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，他們總結(jié)出了解微分方程的變量分離法，還提出了著名的伯努利方程.到了18世紀(jì)，歐拉在前人的基礎(chǔ)上做了大量的

3、工作，從而使微分方程形成自身獨(dú)特的理論體系.之后法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾將其方法加以整理，給出了求非其次線(xiàn)性微分方程的通解的一般方法；另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日則又得出了通過(guò)變易常數(shù)求變系數(shù)常微分方程特解的方法，這些方法都是現(xiàn)今求微分方程的有效方法.18世紀(jì)后期不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問(wèn)題，使數(shù)學(xué)家逐漸招架不住了，于是轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥?wèn)題的思考，即給定一個(gè)微分方程，它在給定的初始條件和邊界條件下是否有解？在這個(gè)過(guò)程中，許多著名的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家開(kāi)展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施圖姆、劉維爾等人.特別是法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊使微分方程與函數(shù)論建立了密切的聯(lián)

4、系，從而產(chǎn)生了微分方程的解析理論.雖然18世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展已經(jīng)達(dá)到空前燦爛的程度，然而數(shù)學(xué)家們?cè)谶\(yùn)用微積分方法的過(guò)程中并沒(méi)能使無(wú)窮小這一概念的本質(zhì)得到澄清，這就導(dǎo)致了微積分學(xué)理論缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).進(jìn)入19世紀(jì)，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾、法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯等人為完善分析學(xué)的基礎(chǔ)理論做出了卓越的貢獻(xiàn).直到二十世紀(jì)六十年代中期，由于數(shù)學(xué)規(guī)劃、對(duì)策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)、最優(yōu)控制理論等多方面的需要，誕生了一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支——凸分析.這一分支由于基本內(nèi)容相當(dāng)初等，而應(yīng)用又十分廣泛，因此許多結(jié)果很快就成為廣大數(shù)學(xué)工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究對(duì)

5、象是凸集和凸函數(shù)，基本工具是凸集分離定理.在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與證明中，我們都需要用到凸集．凸集有許多等價(jià)的定義和性質(zhì)，這些定義和性質(zhì)在分析學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．不僅如此，在很多的科學(xué)領(lǐng)域中，凸集理論也能得到很好的應(yīng)用.20世紀(jì)60年代以后凸集的概念通過(guò)不同的途徑被推廣，提出了吸收凸集、對(duì)稱(chēng)凸集、嚴(yán)格凸集、一致凸集、強(qiáng)凸集等概念.1961年，L.Santaló研究了平面凸集的完備不等式系統(tǒng)，并根據(jù)W.Blaschke的方法提出了一個(gè)從緊凸集類(lèi)到單位正方形的映射，的值域?yàn)榈木o子集，并將它稱(chēng)為Santaló圖[2].一般線(xiàn)性空間中的凸集概念是從平面凸集的特征性質(zhì)中

6、抽象出來(lái)的，而這個(gè)性質(zhì)并不要求空間具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以這個(gè)概念可以擴(kuò)充到一般的線(xiàn)性空間[3].本文主要討論的就是一般線(xiàn)性空間中的凸集.凸集在近代數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，本文給出了凸集的幾個(gè)等價(jià)命題和他們之間的推導(dǎo)，及凸集的有關(guān)性質(zhì)和它在分析中的一些應(yīng)用.定義[3][4]【5】：設(shè)是線(xiàn)性空間，，稱(chēng)為一凸集，如果（）.提到凸集的等價(jià)定義、性質(zhì)和應(yīng)用，不得不提的是它的幾何意義：如果對(duì)于點(diǎn)擊中任意兩點(diǎn)，，線(xiàn)段上的沒(méi)一點(diǎn)都屬于，那么就稱(chēng)為凸集.顯然，線(xiàn)段、直線(xiàn)、元、半平面、球和四面體等都是凸集.對(duì)歐氏空間，直觀(guān)上，凸集就是凸的.在一維空間中，凸集是單點(diǎn)或一條不間斷的線(xiàn)（

7、包括直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段）；二、三維空間中的凸集就是直觀(guān)上凸的圖形.在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與證明中，我們都需要用到凸集，例如在泛函分析、概率論、統(tǒng)計(jì)決策論和信息論等當(dāng)中．本文試就凸集的等價(jià)定義、性質(zhì)和應(yīng)用等問(wèn)題作初步的探討.二、主題部分關(guān)于凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用，許多學(xué)者進(jìn)行了較為深入的研究，并已取得大量的較為豐富的結(jié)果，現(xiàn)將已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果綜述如下：文獻(xiàn)[1]研究了凸集的一些基本性質(zhì).給出了集合的邊界點(diǎn)的支持方向的新概念.利用支持方向證明了凸集的一些特征性質(zhì)，獲得了凸集分離定理及其它一些特征性質(zhì)的新方法和途徑.文獻(xiàn)[2]通過(guò)在給定平面凸集的外徑和內(nèi)徑的條件下，凸集

8、的面積和周長(zhǎng)的下界的一組不等式，并且證明了當(dāng)凸集為雙