函數(shù)的凸性及應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

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1、函數(shù)的凸性及應(yīng)用文獻(xiàn)綜述文獻(xiàn)綜述函數(shù)的凸性及應(yīng)用一、前言部分(說明寫作的目的,介紹有關(guān)概念、綜述范圍,扼要說明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn))凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)。對(duì)函數(shù)凹凸性的研究,在數(shù)學(xué)分析的多個(gè)分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面,凸函數(shù)都有著十分重要的作用。凸函數(shù)的定義,最早是由Jersen給出的。各文獻(xiàn)中對(duì)凸函數(shù)的定義不盡相同,在大學(xué)的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中,常常只研究具有二階導(dǎo)數(shù)的凸函數(shù)。本文首先給出凸函數(shù)的定義以及對(duì)凸函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)。然后由基本性質(zhì)進(jìn)行延伸,進(jìn)一步給出凸函數(shù)的應(yīng)用。對(duì)于凸函數(shù)的應(yīng)用,本文擬將主

2、要介紹以下的幾點(diǎn):凸函數(shù)在證明Jensen不等式時(shí)的應(yīng)用;凸函數(shù)在Hadamard不等式中的證明的應(yīng)用;凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)用等。二、主題部分(闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向,以及對(duì)這些問題的評(píng)述)凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1],有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義,經(jīng)過近百年努力,凸函數(shù)的研究在各個(gè)方面正得到長(zhǎng)足的發(fā)展,在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來。凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù),應(yīng)用函數(shù)的凸性,不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像,

3、而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法,同時(shí),凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對(duì)象,它研究的內(nèi)容非常豐富,研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用就顯得尤為重要。2.1凸函數(shù)的定義2.1.1凸函數(shù)一些基本定義通過數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí),對(duì)于函數(shù)和的圖像,我們很容易看出它們之間的不同點(diǎn):曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方;而曲線則相反,在任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方。通過這兩個(gè)函數(shù),我們把前一種特性的曲線稱為凸的,后一種為凹的。對(duì)于凸的我們稱其函數(shù)為凸函數(shù)。數(shù)學(xué)分析[2]給出了凸函數(shù)的基本定義:設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)

4、,若對(duì)上的任意兩點(diǎn),和任意實(shí)數(shù)總有,則稱為上的凸函數(shù)。葛麗萍[3]介紹了以下的結(jié)論:若區(qū)間上的任意三點(diǎn),總存在,這個(gè)條件是為上的凸函數(shù)的充要條件,該證明在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)詳細(xì)的給出了。同理,通過推廣,可以得出另一個(gè)更進(jìn)一步的充要條件:在區(qū)間上的任意三點(diǎn),有成立,則為上的凸函數(shù)。并且若為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在上為凸函數(shù)的充要條件為。2.1.2嚴(yán)格凸函數(shù)的定義江芹,陳文略[4]給出了嚴(yán)格凸函數(shù)的定義并且討論了區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)的判定方法。定義:凸函數(shù)的定義為函數(shù)滿足以下不等式,其中為區(qū)間上的函數(shù),,為上的任意兩點(diǎn)和。當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r(shí),其余

5、條件不變,該函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。判定方法:1、設(shè)為區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù),在上嚴(yán)格遞增,則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。反之,不成立;2、設(shè)為區(qū)間上二階可導(dǎo)函數(shù),在上.則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)。2.1.3凸函數(shù)的等價(jià)描述林銀河[5]詳細(xì)論述了凸函數(shù)的等價(jià)描述,由此得出:若在上有定義,則以下3個(gè)命題等價(jià):在上為凸函數(shù);,,有;,且不全為零,有。其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中令就得到如下定義:設(shè)在區(qū)間上有定義,稱為上的凸函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)有。葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的等價(jià)條件:若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),可得出以下等價(jià)條件。(1)

6、為上的凸;(2)為上的增函數(shù);(3)對(duì)上的任意兩點(diǎn),,有。2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一類重要函數(shù),而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項(xiàng)基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對(duì)函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè),Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù),而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù),從凸函數(shù)的定義出發(fā),研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會(huì)提出這樣的問題:當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足何種條件時(shí),是區(qū)間上的凸函數(shù);當(dāng)凸函數(shù)滿足何種條件時(shí),是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)?例如函數(shù),我們?nèi)菀鬃C明在上是

7、凸函數(shù),但在上不連續(xù)。存在函數(shù),可以得出函數(shù)在上是連續(xù)的,但是函數(shù)在上不是凸函數(shù)。上面這個(gè)例題說明凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù),而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)。宋方[6]提出,如果連續(xù)函數(shù)為凸函數(shù),必定滿足以下定義:對(duì)任意的及,恒有:。例:證明連續(xù)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)。分析:因?yàn)?只要存在就能說明函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)。顯然能夠找到滿足條件的性質(zhì)[7]:若在區(qū)間上連續(xù),且滿足或其中,則是上的凸函數(shù)。2.2.2凸函數(shù)的微積分性質(zhì)劉鴻基,張志宏[8]指出凸函數(shù)是一類重要的函數(shù),有著較好的分析性質(zhì),而關(guān)于凸函數(shù),一般教材大都從幾何意義方面引出定義,描述為:凸曲線

8、弧段上任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)而成的弦,總是位于曲線弧段的下方;或者,當(dāng)曲線各點(diǎn)處存在切線時(shí),凸曲線弧全部位于曲線上各點(diǎn)處切線的下方。前者往往作為定義使用,后者是凸函數(shù)的充分必要條件,也可以作為定義作用。