《隨機(jī)過(guò)程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用》習(xí)題一答案.pdf

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1、習(xí)題一1、設(shè)人民幣存款利率為5%，每年計(jì)息一次，那么大約要多少年時(shí)間才能使存款額變?yōu)樵瓉?lái)的4倍？如果利率變?yōu)?%，又要多少年？解：設(shè)初始投入資金為Q元，大約需要n年，其中的利率為r。依題意，可得：公式計(jì)算法：???%??=????【PS:??為存款后的利息+本金，?為本金】1)當(dāng)r=5%的時(shí)候：???%??=?????所以：?==???%2)當(dāng)r=4%的時(shí)候：???%??=?????3)所以：?==???%答：當(dāng)利率為5％的時(shí)候，大約60年可以達(dá)到4倍。利率為4％的時(shí)候，大約75年可以達(dá)到4倍。2、如果利率為年復(fù)合利率r，請(qǐng)給出一個(gè)公式，用它來(lái)估計(jì)要多少年才能使存款額變?yōu)樵瓉?lái)的3倍。解：

2、【推導(dǎo)過(guò)程】當(dāng)利率為r，則一年之后存放余額為Q+rQ=(1+r)Q之后連本帶息存款，二年之后存放余額?(?+?)+?(?+?)?=?(?+?)?······依次類(lèi)推n年后存款達(dá)到?(?+?)?依據(jù)上述公式和P3的(1—4)，可以得到：?(?+?)?=??且(?+?)?=???=>(?+?)?=?且(?+?)?=???且當(dāng)n充分大時(shí)=>(?+?)?≈???，則由題意得到?(?+?)?=??=>(?+?)?=?且(?+?)?≈???,近似???≈????????≈=??3、考慮期權(quán)定價(jià)C問(wèn)題，設(shè)利率為r，在t=0時(shí)刻，某股票價(jià)格為100元，在t=1時(shí)刻，該股票的價(jià)格為200或50，即↗200

3、100(t=0)(?=1)↘50100?50(1+?)?1試證明：若C≠，則存在一個(gè)購(gòu)買(mǎi)組合，使得在任何情況下都能3帶來(lái)正的利潤(rùn)現(xiàn)值，即套利發(fā)生。【本題默認(rèn)執(zhí)行價(jià)格為150】解：【分析過(guò)程：】t=0t=1期權(quán)??=200??S=100??=50??????????????已知公式?=???+?，?=，?=。??????+?依題意，可知：t=0時(shí)，S=100；t=1時(shí)，??=200，??=50??=???{???????,?}=???{??,?}=??;??=???{??????,?}=???{????,?}=?;??????????????????????????=>?===；?===?

4、?????????????+??+???(?+?)???????(?+?)??????????(?+?)???=???+?=????+(?)==???(?+?)??(?+?)???????(?+?)??答：所以在?≠的情況下，則存在一個(gè)購(gòu)買(mǎi)組合，使得在任何情?況下都能帶來(lái)正的利潤(rùn)現(xiàn)值，即套利發(fā)生。4、令C是一個(gè)買(mǎi)入期權(quán)的價(jià)格，S是該證券現(xiàn)在的價(jià)格，證明C≤S。解：【知識(shí)小整理】買(mǎi)入期權(quán)價(jià)格也叫作看漲期權(quán)的價(jià)格。即賦予其持有者在到期日或到期日之前按一定的價(jià)格買(mǎi)入某種資產(chǎn)的權(quán)力。權(quán)利金=內(nèi)涵價(jià)值+時(shí)間價(jià)值【內(nèi)涵價(jià)值由標(biāo)的物價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格決定，時(shí)間價(jià)格由剩余時(shí)間、利率、波動(dòng)率等因素決定】證明：

5、如果?≥?，則若看漲期權(quán)到期作廢，其買(mǎi)方的損失將超過(guò)直接購(gòu)買(mǎi)的物的損失，這便失去了期權(quán)投資的意義。投資者便不如直接購(gòu)買(mǎi)標(biāo)的物，損失更小而成本更低。所以權(quán)利金不應(yīng)該高于標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格。即通過(guò)期權(quán)方式取得標(biāo)的物存在的潛在損失不應(yīng)該高于市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)標(biāo)的物所產(chǎn)生的最大損失。期權(quán)未到期時(shí)是含有時(shí)間價(jià)值的，所以期權(quán)權(quán)利金的下限一定出現(xiàn)在到期日T，此時(shí)沒(méi)有時(shí)間價(jià)值如果在到期日T，標(biāo)的物價(jià)格S≤執(zhí)行價(jià)格X，那么以執(zhí)行價(jià)格行使看漲期權(quán)沒(méi)有價(jià)值，即C=0；如果在到期日T，標(biāo)的物價(jià)格S≥執(zhí)行價(jià)格X,那么以執(zhí)行價(jià)格行使看漲期權(quán)價(jià)值就等于標(biāo)的物與期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的差，即C=S-X。綜上：?≤?。證明完畢。5、設(shè)C是一

6、個(gè)歐式賣(mài)入期權(quán)的價(jià)格，其敲定價(jià)格為K。再設(shè)P是一個(gè)歐式賣(mài)出期權(quán)的價(jià)格，其敲定價(jià)格也為K。期權(quán)的滿期為T(mén)。設(shè)S是股票在0時(shí)刻的價(jià)格，利率為r，試說(shuō)明，若下式S+P?C=K????不成立，則一定存在套利機(jī)會(huì)。解：證明：期權(quán)評(píng)價(jià)公式即S+P?C=K????，如上所示。假設(shè)：S+P?C=K????為例，那么通過(guò)在0時(shí)刻購(gòu)買(mǎi)一份股票，同時(shí)買(mǎi)入一個(gè)看漲的期權(quán)，并賣(mài)出一個(gè)看漲的期權(quán)，這個(gè)初始的投入?+???。在T時(shí)刻賣(mài)出，如果?(?)≤?，那么買(mǎi)入的看漲期權(quán)無(wú)價(jià)值，則可以執(zhí)行看跌期權(quán)，以?xún)r(jià)格K賣(mài)出。如果?(?)≥?，那么賣(mài)出的看跌期權(quán)無(wú)價(jià)值，則執(zhí)行看漲期權(quán)，迫使以K賣(mài)出，由于?<(?+???)???，

7、我們都有正利潤(rùn)，即等式不成立，則一定存在套利的機(jī)會(huì)。6、令C是一個(gè)買(mǎi)入期權(quán)的價(jià)格，這個(gè)期權(quán)可以在t時(shí)刻以?xún)r(jià)格K買(mǎi)入一個(gè)證券。S是證券現(xiàn)在的價(jià)格，r是利率。試寫(xiě)出一個(gè)包含C,S,K????的不等式，并給出證明。解：給出的不等式為：S-Ck，看漲期權(quán)就將被執(zhí)行，K-(S