《隨機(jī)過(guò)程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用》習(xí)題七答案.docx

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1、第七章習(xí)題71、設(shè){X(t),t30}為Brown運(yùn)動(dòng)過(guò)程，令Y(t)=tX(1t)（1）Y(t)的分布是什么？（2）計(jì)算Cov(Y(s),Y(t))。（3）試證{Y(t),t30}也是Brown運(yùn)動(dòng)。（4）令T=inf{t>0:X(t)=0}，利用（3）給出P(T=0)=1的證明。答：（1）Y(t)是正態(tài)分布。{X(t),t30}為Brown運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則X(0)=0;X(t)N(0,c2t)，且{X(t),t30}有平穩(wěn)獨(dú)立增量。則{Y(t)=tX(1t),t30}也有平穩(wěn)獨(dú)立增量，Y(0)=0,X(1

2、t)=0;X(1t)?c2?N?0,÷tè?(Y())=E(())=tE(())=0EttX1tX1tVar(Yt))=Var(tX1t))=t2Var(X1t))=t2c2=c2t(((t則Y(t)N(0,c2t)，所以Y(t)是正態(tài)分布。（2）()())()()??()??()?()()?(Y,Ys?Y?Ycovt=EéYtsù-EéYtùEéYsù=EéYtsù當(dāng)t3s時(shí)?()()??()(()-Y())+Y2()?EéYtYsù=EéYtYsttù=E{éY(s)-Y(t)ùéY(t)-Y(0)ù

3、}+EéY2(t)ù=c2t??????當(dāng)t

4、。（4）令S=sup{t>0:Y(t)=0}，易知Y(t)在任意t時(shí)刻都可能為0，則S為無(wú)窮大，即tX(1t)=0,X(1t)=0。由此可知Y(t)=0的上界就是求X(t)=0的下界limX(1t)=X(0)=0，則下界T必為0，即P(T=0)=1t?+￥2、設(shè)X(t)同上，令W(t)=X(aa2t)(a>0)，驗(yàn)證{W(t),t30}也是Brown運(yùn)動(dòng)。證明：由X(t)為Brown運(yùn)動(dòng)，對(duì)于任意t大于等于0，X(t)N(0,c2t),X(a2t)N(0,c2a4t),W(t)=X(a2t)N(0,c2a

5、2t)a因?yàn)閄(t)有平穩(wěn)獨(dú)立增量，所以W(t)-W(s)N(0,(ca)2(t-s))又W(0)=0，所以{W(t),t30}也是Brown運(yùn)動(dòng)。3、設(shè)X(t)同上，計(jì)算給定X(t1)=A,X(t2)=B時(shí)X(s)的條件分布，其中t1

6、-s)1-(B-A)22t-te(21)2p(t2-t1)-(B-A)2ì22ü(t-t)(x-A)(B-x)22t-t??=1e(21)expí--y2p(s-t1)(t2-s)2(s-t1)2(t2-s)???(x-A)(B-x)?t?ì22ü=K1expí--y2(s-t1)2(t2-s)???t(B-A)2(t2-t1)-2(t2-t1)將其看作常數(shù)項(xiàng)K][2p(s-t1)(t2-s)e1ìés-tù2ü?(t2-t1)êx-A-(B-A)1ú???t2-t1??=K2expí-y*2(s-t1)

7、(t2-s)?????t(B-A)(s-t1)êés-t1-(B-A)úù[Ke?t-t?將其看作常數(shù)項(xiàng)K]2121其中K1,K2為化簡(jiǎn)后的常系數(shù)。從上述*可以看出條件分布滿足正態(tài)分布從*式也可看出E=A+(B-A)s-t1t2-t1s2=(s-t1)(t2-s)t2-t1即：E(X(s)X(t1)=A,X(t2)=B)=A+(B-A)s-t1t2-t1Var(X(s)X(t1)=A,X(t2)=B)=(s-t1)(t2-s)t2-t1{(),t3}是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，求下列過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)：4、設(shè)Bt

8、0（1）B(t)+?t（2）aB?èa2答：（1）()相互獨(dú)立，且X()Xt,X與BtN0,1；?÷，（a>0為常數(shù)）。?cov((B(t)+Xt),(B(s)+Xs))=Eé(B(t)+Xt)(B(s)+Xs)ù-EéB(t)+XtùEéB(s)+Xsù??????=Eé(B(t)+Xt)(B(s)+Xs)ù=EéB(t)B(s)ù+E(X2st)????=EéB(t)B(s)ù+stE(X2)=min{t,s}+st??