《隨機(jī)過程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用》習(xí)題三答案.docx

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1、第三章習(xí)題31、設(shè)A,B是相互獨(dú)立且同服從N(0,s2)的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過程的{Xt=At+B,t?}均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)。答：均值函數(shù)：mXt=E(Xt)=E(At+B)=tE(A)+E(B)=0自相關(guān)函數(shù)：t2)?()()?R(12)=E(Xt11+BAt2t,tX=EéAt+Bù)(12)()?12A2+(1+t2)?12()+E(++t=EétttAB+B2ù=ttEA2B2tEABA,B相互獨(dú)立，E(AB)=E(A)E(B)=0又E(A2)=E(B2)=s2，R(t1,t2)=(t1t2+1)s2協(xié)方差函數(shù)：cX(t1,t2)=R(t1,t2)-E(Xt1)E(Xt

2、2)E(Xt)=0，cX(t1,t2)=R(t1,t2)=(t1t2+1)s22、設(shè)隨機(jī)過程{Xt,t?T}的均值函數(shù)為mxt，協(xié)方差函數(shù)為cX(t1,t2)。記隨機(jī)過程Yt=Xt+j(t),t?T，其中，j(t)是普通函數(shù)。（1）求Yt的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)；（2）如果j(t)=-mXt，證明RY(t1,t2)=cY(t1,t2)=cX(t1,t2)答：（1）mYt=E(Xt+j(t))=E(Xt)+j(t)=mXt+j(t)RY(t1,t2)=Eé(Xt+j(t1))(Xt2+j(t2))ù=EéXtXt2+Xtj(t2)+Xtj(t1)+j(t1)j(t2)ù?1??112?=RX(t

3、1,t2)+j(t2)mXt1+j(t1)mXt2+j(t1)j(t2)cY(t1,t2)=RY(t1,t2)-E(Yt1)E(Yt2)=RY(t1,t2)-é?mXt1+j(t1)ù?é?mXt2+j(t2)ù?（2）j(t)=-mXtj(t1)=-mXt1,j(t2)=-mXt2RY(t1,t2)=RX(t1,t2)+j(t2)mXt1+j(t1)mXt2+j(t1)j(t2)=RX(t1,t2)-mXt1mXt2=cX(t1,t2)cY(t1,t2)=RY(t1,t2)-é?mXt1+j(t1)ù?é?mXt2+j(t2)ù?=RX(t1,t2)-mXt1mXt2=cX(t1,t2)

4、RY(t1,t2)=cY(t1,t2)=cX(t1,t2)ì1,Xt￡x，證明：3、已知隨機(jī)過程{Xt,t?T}，對任意實(shí)數(shù)x定義隨機(jī)過程Yt=í>x?0,XtYt的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別是Xt的一維和二維分布函數(shù)。證明：{}1()設(shè)隨機(jī)過程tx;t，二維分布函數(shù)為X,t?T的一維分布函數(shù)為FF2(x1,x2;t1,t2)，固定t時(shí)，Yt是服從0-1分布的隨機(jī)變量，其分布律為Yt01PkP{Xt>x}P{Xt￡x}于是Yt的均值函數(shù)為mY=E(Yt)=0′P{Xt>x}+1′P{Xt￡x}=P{Xt￡x}=F1(x;t)t又隨機(jī)變量Yt和Yt的聯(lián)合分布律為12Yt2Yt0110P{Xt1>x

5、,Xt2>x}P{Xt1￡x,Xt2>x}1P{Xt1>x,Xt2￡x}P{Xt1￡x,Xt2￡x}RY(t1,t2)=E(Yt1Yt2)=0′0′P{Xt1>x,Xt2>x}+0′1′P{Xt1>x,Xt2￡x}+1′0′P{Xt1￡x,Xt2>x}+1′1′P{Xt1￡x,Xt2￡x}=P{Xt1￡x,Xt2￡x}=F2(x1,x2;t1,t2)4、設(shè){Xt,t3a}是齊次獨(dú)立增量過程，且Xa=0，方差函數(shù)為sX2t，記隨機(jī)過程Yt=kXt+c,k,c是常數(shù),k10。（1）證明Yt是齊次獨(dú)立增量隨機(jī)過程；（2）求Yt的方差函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)。答：（1）證明：Yt=kXt+c,k,c是常數(shù),k

6、10Yt+t-Yt=(kXt+t+c)-(kXt+c)=k(Xt+t-Xt){Xt,t3a}是齊次獨(dú)立增量過程，增量Xt+t-Xt的概率分布只依賴于t而與t無關(guān)增量Yt+t-Yt的概率分布也只依賴于t而與t無關(guān)Yt是齊次獨(dú)立增量隨機(jī)過程。（2）由題意知：Xt的方差函數(shù)為sX2t，即D(Xt)=sX2tD(Yt)=D(kXt+c)=k2D(Xt)=k2sX2t則Yt的方差函數(shù)為k2sX2t。cY(t1,t2)=cov(Yt1,Yt2)=cov(kXt1+c,kXt2+c)=k2cov(Xt1,Xt2)=k2cX(t1,t2)Xt是齊次獨(dú)立增量過程，當(dāng)Xa=0時(shí)有cX(t1,t2)=DX(m

7、in(t1,t2))=sX2min(t1,t2)cY(t1,t2)=k2cX(t1,t2)=k2sX2min(t1,t2)則Yt的協(xié)方差函數(shù)為k2sX2min(t1,t2)。5、（1）設(shè)通過某路口的車輛數(shù)符合強(qiáng)度為l的泊松過程，已知1分鐘內(nèi)無車輛通過的概率為0.2，試求2分鐘內(nèi)有多于1輛車通過的概率。（2）設(shè)乘客到達(dá)某汽車站的乘客數(shù)為一泊松過程，平均每10分鐘到達(dá)5位乘客，試求在20分鐘內(nèi)到達(dá)汽