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《數(shù)值分析課件典型例題與習(xí)題1.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、《數(shù)值分析》典型例題I一、二章內(nèi)容提要典型例題分析例題與練習(xí)題實(shí)驗(yàn)題介紹????化大為小化繁為簡(jiǎn)化難為易核心的概念誤差算法的構(gòu)造與分析收斂性穩(wěn)定性復(fù)雜度(時(shí)間與空間)等*有效數(shù)字概念若近似值x的絕對(duì)誤差限是某一位上的半個(gè)單位,該位到x的第一位非零數(shù)字一共有n位,則稱近似值x有n位有效數(shù)字。*從左向右看第一個(gè)非零數(shù)誤差限不超過(guò)該位的半個(gè)單位n位有效數(shù)字如果x具有n位有效數(shù)字,則相對(duì)誤差滿足:其絕對(duì)誤差滿足:如果一個(gè)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)則稱近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字。迭代法思想:*收斂性收斂速度Iterate:Tosayordoagainoragainandagain例1.經(jīng)過(guò)四舍五入得出x1=6
2、.1025和x2=80.100,試問(wèn)它們分別具有幾位有效數(shù)字?解：例2.已知近似數(shù)x有兩位有效數(shù)字,試求其相對(duì)誤差限。解：
3、er(x)
4、<5*10-2例3.如下近似值的絕對(duì)誤差限均為0.005,問(wèn)各近似值有幾位有效數(shù)值x1=1.38,x2=-0.0312,x3=0.00086。例4.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效數(shù)。解:直接計(jì)算x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效數(shù)計(jì)算出的x1具有兩位有效數(shù)例5.采用迭代法計(jì)算,取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效數(shù)字,求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。Ex1：對(duì)是否都有這一性質(zhì)?例6.序列{yn}滿足遞推
5、關(guān)系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=21/2≈1.41(三位有效數(shù)字)。遞推計(jì)算y10時(shí)誤差有多大？思考:這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎？例7.設(shè)y0=28,按遞推公式y(tǒng)n=yn-1–(783)1/2/100(n=1,2,·····)計(jì)算到y(tǒng)100。若取(783)1/2≈27.982(5位有效數(shù)字),試問(wèn)計(jì)算y100將有多大的誤差？例8.設(shè)計(jì)算球體V允許其相對(duì)誤差限為1%,問(wèn)測(cè)量球半徑R的相對(duì)誤差限最大為多少?解：由球體計(jì)算公式分析誤差傳播規(guī)律故當(dāng)球體V的相對(duì)誤差限為1%時(shí)，測(cè)量球半徑R的相對(duì)誤差限最大為0.33%。??相對(duì)誤差傳播規(guī)律例9.利用級(jí)數(shù)可計(jì)算出無(wú)理數(shù)?的近
6、似值。由于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn在其極限值上下擺動(dòng),試分析為了得到級(jí)數(shù)的三位有效數(shù)字近似值應(yīng)取多少項(xiàng)求和。解:由部分和只需?n>1000時(shí),Sn有三位有效數(shù)。例10.在計(jì)算機(jī)上對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求和計(jì)算當(dāng)n很大時(shí)，Sn將不隨n的增加而增加。試分析原因。例11.證明方程1-x-sinx=0在區(qū)間[0,1]上有一根,使用二分法求誤差不大于0.5*10-4的根需要二分多少次？提示:f(0)=1,f(1)=-sin1<0。且f′(x)=-1-cosx在區(qū)間(0,1]嚴(yán)格單調(diào)遞減。例12.構(gòu)造求ex+10x-2=0根的迭代法。提示:故迭代法算法一階收斂。例13.應(yīng)用牛頓迭代法于方程x3–a=0,
7、導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。解：令f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式故立方根迭代算法二階收斂例14.設(shè)a為正實(shí)數(shù),試建立求1/a的牛頓迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法運(yùn)算,并考慮迭代公式的收斂。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,當(dāng)
8、1–ax0
9、<1時(shí),迭代公式收斂。解:建立方程利用牛頓迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得例15.證明對(duì)于C>0,迭代格式例16.解:Ex2.若x*是f(x)=0的m重根,試證明修正的牛頓迭代法至少為二階收斂。[f(x)]1/m或f(x)/f′(x)單根Ex3對(duì)于復(fù)變量z=x+iy的復(fù)值函數(shù)f(z)應(yīng)用
10、牛頓迭代公式時(shí)為避開(kāi)復(fù)數(shù)運(yùn)算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f′(zn)=Cn+iDn證明例17.提示:取初值x1=21/2,考慮序列單調(diào)有界,則該序列必有極限。*例18.例19.已知方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根,試判斷下列迭代格式的收斂性。例20.證明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn產(chǎn)生的迭代序列{xn},對(duì)任意的x0>0,均收斂于21/2。牛頓迭代法的收斂域問(wèn)題:用牛頓迭代法求解方程zd–1=0的復(fù)根。例如d=3時(shí),方程在復(fù)平面上三個(gè)根分別是z1=1選擇中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)的任意點(diǎn)作初始值，進(jìn)行迭代，把收斂到三個(gè)根的初值分為三
11、類，并分別標(biāo)上不同顏色(例如紅、綠和藍(lán))。對(duì)充分多的初始點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，繪出牛頓迭代法對(duì)該方程的收斂域彩色圖。%%PerformNewtoniterationsfork=1:maxIter;Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d));endfunctiony=f(x,d);y=(x.^d)-1;endfunctiony=fprime(x,d);y=d*(x.^(d-1));end代碼片段1:%%Finddrootsofunity,andthemaskf
