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《數(shù)值分析課件典型例題與習題.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、《數(shù)值分析》典型例題I一、二章內(nèi)容提要典型例題分析例題與練習題實驗題介紹????化大為小化繁為簡化難為易核心的概念誤差算法的構造與分析收斂性穩(wěn)定性復雜度(時間與空間)等有效數(shù)字概念若近似值x的絕對誤差限是某一位上的半個單位,該位到x的第一位非零數(shù)字一共有n位,則稱近似值x有n位有效數(shù)字。從左向右看第一個非零數(shù)誤差限不超過該位的半個單位n位有效數(shù)字如果x具有n位有效數(shù)字,則相對誤差滿足:其絕對誤差滿足:如果一個規(guī)格化浮點數(shù)則稱近似數(shù)x具有n位有效數(shù)字。迭代法思想:收斂性收斂速度Iterate:Tosayordoagainoragainandagain例1.經(jīng)過四舍五入得出x1=6.1025和x2
2、=80.100,試問它們分別具有幾位有效數(shù)字?解：例2.已知近似數(shù)x有兩位有效數(shù)字,試求其相對誤差限。解：
3、er(x)
4、<5*10-2例3.如下近似值的絕對誤差限均為0.005,問各近似值有幾位有效數(shù)值x1=1.38,x2=-0.0312,x3=0.00086。例4.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效數(shù)。解:直接計算x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效數(shù)計算出的x1具有兩位有效數(shù)例5.采用迭代法計算,取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效數(shù)字,求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。Ex1：對是否都有這一性質?例6.序列{yn}滿足遞推關系yn=10yn-1–1
5、(n=1,2,·····)若取y0=21/2≈1.41(三位有效數(shù)字)。遞推計算y10時誤差有多大？思考:這個計算過程穩(wěn)定嗎？例7.設y0=28,按遞推公式y(tǒng)n=yn-1–(783)1/2/100(n=1,2,·····)計算到y(tǒng)100。若取(783)1/2≈27.982(5位有效數(shù)字),試問計算y100將有多大的誤差？例8.設計算球體V允許其相對誤差限為1%,問測量球半徑R的相對誤差限最大為多少?解：由球體計算公式分析誤差傳播規(guī)律故當球體V的相對誤差限為1%時，測量球半徑R的相對誤差限最大為0.33%。??相對誤差傳播規(guī)律例9.利用級數(shù)可計算出無理數(shù)?的近似值。由于交錯級數(shù)的部分和數(shù)列Sn在
6、其極限值上下擺動,試分析為了得到級數(shù)的三位有效數(shù)字近似值應取多少項求和。解:由部分和只需?n>1000時,Sn有三位有效數(shù)。例10.在計算機上對調和級數(shù)逐項求和計算當n很大時，Sn將不隨n的增加而增加。試分析原因。例11.證明方程1-x-sinx=0在區(qū)間[0,1]上有一根,使用二分法求誤差不大于0.5*10-4的根需要二分多少次？提示:f(0)=1,f(1)=-sin1<0。且f′(x)=-1-cosx在區(qū)間(0,1]嚴格單調遞減。例12.構造求ex+10x-2=0根的迭代法。提示:故迭代法算法一階收斂。例13.應用牛頓迭代法于方程x3–a=0,導出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。解：令
7、f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式故立方根迭代算法二階收斂例14.設a為正實數(shù),試建立求1/a的牛頓迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法運算,并考慮迭代公式的收斂。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,當
8、1–ax0
9、<1時,迭代公式收斂。解:建立方程利用牛頓迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得例15.證明對于C>0,迭代格式例16.解:Ex2.若x*是f(x)=0的m重根,試證明修正的牛頓迭代法至少為二階收斂。[f(x)]1/m或f(x)/f′(x)單根Ex3對于復變量z=x+iy的復值函數(shù)f(z)應用牛頓迭代公式時為避開復數(shù)運算,令zn=xn+iynf(z
10、n)=An+iBn，f′(zn)=Cn+iDn證明例17.提示:取初值x1=21/2,考慮序列單調有界,則該序列必有極限。例18.例19.已知方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根,試判斷下列迭代格式的收斂性。例20.證明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn產(chǎn)生的迭代序列{xn},對任意的x0>0,均收斂于21/2。牛頓迭代法的收斂域問題:用牛頓迭代法求解方程zd–1=0的復根。例如d=3時,方程在復平面上三個根分別是z1=1選擇中心位于坐標原點，邊長為2的正方形內(nèi)的任意點作初始值，進行迭代，把收斂到三個根的初值分為三類，并分別標上不同顏色(例如紅、綠和藍)。對充分多的初始點進行實驗，
11、繪出牛頓迭代法對該方程的收斂域彩色圖。%%PerformNewtoniterationsfork=1:maxIter;Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d));endfunctiony=f(x,d);y=(x.^d)-1;endfunctiony=fprime(x,d);y=d*(x.^(d-1));end代碼片段1:%%Finddrootsofunity,andthemaskforj=
