泰勒公式的深刻理解

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1、泰勒公式的深刻理解1學(xué)生對泰勒公式的疑惑及其根源分析泰勒公式這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生理解泰勒公式,并了解它的一些應(yīng)用。然而,在完成教學(xué)任務(wù)后仍有相當(dāng)多的學(xué)生心存疑惑,不能不說這是教學(xué)上的一個(gè)失敗。平時(shí)和學(xué)生聊起數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),談到泰勒公式,很多學(xué)生都說不理解;講課中要用到泰勒公式時(shí),學(xué)生也會(huì)叫喳喳的,表現(xiàn)出畏難的情緒。和同事們談起這事,上過這門課的教師都有同感。學(xué)生在什么地方卡住了呢？在與學(xué)生溝通中發(fā)現(xiàn)學(xué)生通常會(huì)這樣來描述他們的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。是什么原因?qū)е铝藢W(xué)生的不理解？通過進(jìn)一步與學(xué)生溝通和不斷地

2、思考,我們做出如下分析:(1)教科書中泰勒公式的表達(dá)方式與學(xué)生的思維方式不一致。我們采用的教材是同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》,教材中的泰勒公式以定理的形式給出:,有泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù),則對任一,(1)其中(2)這里x為x與x0之間的某個(gè)值x。公式(1)稱為n階泰勒公式。剛從中學(xué)步入大學(xué),大部分學(xué)生還沒有完全適應(yīng)大學(xué)的思維方式。公式(1)的右端由兩部分構(gòu)成:x-x0的多項(xiàng)式和余項(xiàng)Rn(x),復(fù)雜的多項(xiàng)式加上一個(gè)需要附加說明的余項(xiàng)和學(xué)生心中公式(在中學(xué)中

3、認(rèn)識(shí)的公式)的表達(dá)方式不一致,由于學(xué)生的抽象思維沒有達(dá)到一定的程度,他們還無法接受這么一個(gè)有著附加說明(而且說明也很抽象)的公式,用學(xué)生的話說就是不知道它講的是什么。(2)泰勒公式證明過程的抽象性加深了學(xué)生的疑惑。泰勒公式是通過重復(fù)應(yīng)用柯西中值定理來證明的,過程比較抽象,由于學(xué)生沒有理解泰勒公式的表達(dá)式,也就是說沒有完全弄清楚定理的條件和結(jié)論,在這種學(xué)生還沒有做好準(zhǔn)備的情況下,公式證明過程的抽象性只能加深學(xué)生的疑惑。(3)例題的講解沒有給學(xué)生的理解帶來預(yù)期的幫助。由于沒有分重視學(xué)生思維方式上的差異,教師通常認(rèn)為給出泰勒公式后,

4、針對一些常見的函數(shù)寫出相應(yīng)的泰勒公式,再簡單地提一提近似94中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊ChinaEducationInnovationHerald計(jì)算就可以達(dá)到目標(biāo)了。的確,學(xué)生也能模仿例題完成作業(yè),但是學(xué)生仍表示不知道這個(gè)公式有什么用。也就是說學(xué)生并沒有理解例題的作用,沒有將例題和泰勒公式的理解聯(lián)系在一起,認(rèn)為例題也就是套著公式(1)寫出相應(yīng)的式子罷了。在沒有理解泰勒公式的前提下,寫出常見函數(shù)的泰勒公式對學(xué)生來說只是一種機(jī)械行為,沒有任何意義。2教學(xué)設(shè)計(jì)通常的教學(xué)過程都是以泰勒公式的證明、常見函數(shù)的泰勒公式為重點(diǎn)和難點(diǎn),基于以上的分析

5、,我們在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)改換思路,教學(xué)中對以下三方面進(jìn)行了嘗試,取得了較好的教學(xué)效果:(1)把重點(diǎn)放在問題的提出和泰勒公式的引入上。通常情況下教師在這里花的時(shí)間并不多,在大部分學(xué)生還理不清頭緒的時(shí)候老師就已經(jīng)給出抽象的泰勒中值定理了。根據(jù)學(xué)生的具體情況,我們認(rèn)為這部分內(nèi)容對于我們的學(xué)生理解泰勒公式有很大的幫助,講好了有事半功倍的作用,因此我們把重點(diǎn)放在這里。(2)嘗試用另外一種形式來描述泰勒公式,以促進(jìn)學(xué)生的理解。(3)改變例題的講解方式。將第一個(gè)例題的重點(diǎn)由寫出泰勒公式改為近似計(jì)算,以加強(qiáng)學(xué)生對泰勒公式的理解并了解它的一些應(yīng)用。具

6、體設(shè)計(jì)思路如下:(1)問題的提出。微分的近似計(jì)算公式的缺點(diǎn):在實(shí)際應(yīng)用中有可能不滿足精度要求。問題:如何才能提高精度？(2)提出猜想。微分的近似計(jì)算公式實(shí)質(zhì)上就是用一次多項(xiàng)式P1(x)=a0+a1(x-x0)來擬合函數(shù),那么能否用n次多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(xx0)n來擬合函數(shù)呢？(3)擬合系數(shù)的選取。問題:如果要用多項(xiàng)式來擬合函數(shù):,系數(shù)ai(i=1,?n)該如何選?。?由此推出擬合多項(xiàng)式P(x)與從微分的近似計(jì)算公式出發(fā),研究一次多項(xiàng)式P1(x)的系數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系:1函數(shù)

7、f(x)之間的關(guān)系:。將上述關(guān)系作為擬合條件進(jìn)行推廣:如果要用多項(xiàng)式來擬合函數(shù),即有,那么可以猜想擬合多項(xiàng)式Pn(x)與函數(shù)f(x)之間應(yīng)該有下列關(guān)系:,由此可得到擬合系數(shù)與函數(shù)的之間的關(guān)系:于是可選取多項(xiàng)式(3)來擬合函數(shù)f(x)。(4)誤差的估計(jì)。問題:如何判斷擬合的好壞？如果令Rn(x)=f(x)-Pn(x),(4)則擬合好壞可由絕對誤差給出。問題:如何估計(jì)Rn(x)?(下轉(zhuǎn)96頁)中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2009NO.32ChinaEducationInnovationHerald理論前沿求:滑塊受到水平面的支持力;滑塊運(yùn)動(dòng)的

8、加速度;滑塊在力F作用下經(jīng)過5S通過的位移。圖4分析與解答:這是一個(gè)已知物體的受力情況求運(yùn)動(dòng)情況的問題。首先要確定問題的研究對象,分析它的受力情況。木塊受到四個(gè)力的作用:水平方向的拉力F和滑動(dòng)摩擦力f、豎直方向的重力G和水平面對木塊的支持力N如圖5所示。圖5其次分析木塊的加速