資源描述：
《隨機(jī)向量的函數(shù)及其應(yīng)用 趙樹杰 20120919.ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、隨機(jī)向量的函數(shù)及其應(yīng)用趙樹杰2012.09.19引言序序隨機(jī)信號通過系統(tǒng)或經(jīng)過處理后，輸出的隨機(jī)信號與輸入的隨機(jī)信號之間就形成函數(shù)或變換關(guān)系。我們需要研究由已知的輸入隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性得到輸出隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性。這個(gè)問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是隨機(jī)變量、隨機(jī)向量的函數(shù)問題。引言討論三個(gè)問題我們知道，隨機(jī)信號統(tǒng)計(jì)特性的完整數(shù)學(xué)描述可以是它的概率密度函數(shù)(PDF),所以下面主要討論隨機(jī)變量函數(shù)、隨機(jī)向量函數(shù)的概率密度函數(shù)關(guān)系。討論三個(gè)問題1.隨機(jī)變量的函數(shù)；2.隨機(jī)向量的函數(shù)；3.正態(tài)隨機(jī)向量的特性與變換。引言說明附說明1.限于討論實(shí)的、連續(xù)的隨機(jī)變量、隨機(jī)向量；2
2、.證明、推演簡略或略；3.概率密度函數(shù)若省略隨機(jī)變量、隨機(jī)向量的取值區(qū)間，默認(rèn)為取值區(qū)間為到；4.所用符號可能與教材不一致。附請教幾個(gè)問題。一隨機(jī)變量的函數(shù)1.函數(shù)2.雅可比變換1.隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量(RV)，則就是隨機(jī)變量的函數(shù)；也是一個(gè)隨機(jī)變量。2.一維雅可比變換若已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，可由一維雅可比變換得到。函數(shù)，如果反函數(shù)存在，且對連續(xù)可導(dǎo)，則有一隨機(jī)變量的函數(shù)2.雅可比變換稱為一維雅可比變換。式中是雅可比；表示取絕對值；，。一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例3.舉例例1.1設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)(線性函數(shù))，求隨機(jī)
3、變量的PDF。解：由函數(shù),則反函數(shù)，雅可比。于是得即。通常稱為歸一化處理。一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例例1.2設(shè)隨機(jī)變量的PDF為是均值,方差,對稱于均值的三角分布。函數(shù)(線性函數(shù),其中是常數(shù))。求隨機(jī)變量的PDF。解：由函數(shù),則反函數(shù),雅可比。一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例于是得隨機(jī)變量的PDF為是均值,方差,對稱于均值的三角分布(注意隨機(jī)變量的取值區(qū)間)。和的圖形如圖1.1所示。一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例圖1.1和的圖形如果再令函數(shù)則隨機(jī)變量是均值,方差的、對稱于均值的三角分布。一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例例1.3設(shè)隨機(jī)變量,函數(shù)(非線性函數(shù))。求隨機(jī)變量的PDF
4、。解：函數(shù),反函數(shù)；雅可比的絕對值。于是一隨機(jī)變量的函數(shù)3.舉例由表達(dá)式,最終得隨機(jī)變量是服從自由度為的分布,如圖1.2所示。圖1.2分布曲線()一隨機(jī)變量的函數(shù)4.兩個(gè)結(jié)論(1)若函數(shù)是線性函數(shù)(變換),則隨機(jī)變量所屬的分布同隨機(jī)變量所屬的分布,但隨機(jī)變量分布的參數(shù)將變化,見例1.1,例1.2；特別是(是任意常數(shù))這種最簡單的線性函數(shù)(變換)時(shí),的分布參數(shù)僅均值,其他分布參數(shù)同的分布參數(shù),見例1.2。所以，的圖形是的圖形沿橫坐標(biāo)平移。（2）若函數(shù)是非線性函數(shù)(變換),則隨機(jī)變量所屬的分布將不同于隨機(jī)變量所屬的分布,見例1.3。4.兩個(gè)結(jié)論一隨機(jī)變量的
5、函數(shù)5.函數(shù)的均值和方差5.隨機(jī)變量函數(shù)的均值和方差若函數(shù),則隨機(jī)變量的均值和方差可由如下方法求得。(1)方法Ⅰ：由一維雅可比變換求出,則(2)方法Ⅱ：將和一隨機(jī)變量的函數(shù)5.函數(shù)的均值和方差代入式則得代入式則得結(jié)果說明，要求隨機(jī)變量的函數(shù)的均值和方差,并不一定要求出的,而只需知道隨機(jī)變量的就夠了。類似地，任意階矩為一隨機(jī)變量的函數(shù)5.函數(shù)的均值和方差舉例例1.4若隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量(非線性函數(shù))的均值和方差。解：由題及例1.3知一隨機(jī)變量的函數(shù)5.函數(shù)的均值和方差舉例(1)按定義求隨機(jī)變量的均值和方差。一隨機(jī)變量的函數(shù)5.函數(shù)的均值和方差舉例(2)
6、按函數(shù)求隨機(jī)變量的均值和方差。結(jié)果相同一隨機(jī)變量的函數(shù)6.應(yīng)用概述6.應(yīng)用概述建立信號模型,研究信號的統(tǒng)計(jì)特性。決定信號處理的系統(tǒng)和方式。線性檢波器,平方律檢波器,線性放大器,對數(shù)放大器；常規(guī)濾波,自適應(yīng)濾波,。具體：雜波抑制時(shí),瑞利雜波,對數(shù)-正態(tài)雜波,韋布爾雜波等,統(tǒng)計(jì)特性不一樣,處理方式與系統(tǒng)也不一樣。信號處理系統(tǒng)硬軟件設(shè)計(jì)，需要統(tǒng)計(jì)特性。信號處理系統(tǒng)性能研究,也需信號的統(tǒng)計(jì)特性。二隨機(jī)向量的函數(shù)1.函數(shù)2.維雅可比變換1.隨機(jī)向量的函數(shù)設(shè)是維隨機(jī)向量,則就是隨機(jī)向量的函數(shù),也是維隨機(jī)向量。2.維雅可比變換若已知隨機(jī)向量的維聯(lián)合概率密度函數(shù),則隨
7、機(jī)向量的維聯(lián)合概率密度函數(shù),可由維雅可比變換得到。二隨機(jī)向量的函數(shù)2.維雅可比變換隨機(jī)向量的函數(shù)如果反函數(shù)存在,且對連續(xù)可導(dǎo),簡記,則有稱為維雅可比變換。式中為雅可比行列式,且為二隨機(jī)向量的函數(shù)2.維雅可比變換二隨機(jī)向量的函數(shù)3.應(yīng)用概述3.應(yīng)用概述(例子)若接收信號為其中,信號是隨機(jī)振幅與隨機(jī)相位信號,和已知,且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；噪聲是零均值、功率譜密度為的加性高斯白噪聲。信號處理后,會得到復(fù)信號二隨機(jī)向量的函數(shù)3.應(yīng)用概述為進(jìn)一步處理(狀態(tài)判決,特征提取,和差歸一化,性能分析等),需求出包絡(luò)和相位及其統(tǒng)計(jì)特性,。怎么求統(tǒng)計(jì)特性,？利用正態(tài)隨機(jī)變量的特性
8、和二維雅可比變換來求得。二隨機(jī)向量的函數(shù)3.應(yīng)用概述由前面的式和式,得則條件正態(tài)互不相關(guān)二維雅
