現(xiàn)代控制理論.ppt

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1、第1章控制系統(tǒng)數(shù)學模型本課程的任務是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設計。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設計，本課程所研究的內容是基于系統(tǒng)的數(shù)學模型來進行的。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。本章內容為：1、狀態(tài)空間表達式2、由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式3、傳遞函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學模型5、線性變換6、組合系統(tǒng)的數(shù)學描述7、利用MATLAB進行模型之間的變換數(shù)學基礎一、矢量空間的定義矢量空間是線性空間，矢量空間中的運算，屬于線性運算法則范疇。例如：屬于二維矢量空間，屬于n維矢量空間。當x屬于某一矢量集V時，稱x是V的元素，即x∈V。線性空間的定義：如果V是非空的集合，P為數(shù)域，設V具有

2、如下性質：1：V中的元素定義有加法，使任何x,y∈V有z=x+y∈V，并且加法運算具有下列性質：1)x+y=y+x2)x+y+z=（x+y）+z2：V中有這樣的元素，稱為零向量，記作0，它具有如下性質：1)對任何x∈V，有x+0=0+x=x2)對任何x∈V，存在-x∈V，使x+（-x）=0，則-x為x的逆元素。3：在V中定義了數(shù)乘，使任何α∈P，x∈V，有αx∈V，且1）α，β∈P，x∈V有（αβ）x=α（βx）2)（α+β）x=αx+βx3)α（x+y）=αx+αy4)1·x=x在上述條件下，稱V為數(shù)域P上的線性空間，若P為復數(shù)域C（或實數(shù)域R）則V為C（或R）上的線性空

3、間。線性空間中的元素稱為矢量，因此線性空間也叫矢量空間。二：空間的維數(shù)1：空間矢量的線性相關性和線性無關性設V是線性空間，x1,x2,…xm∈V,如果能找到一個數(shù)組(k1,k2,…km)≠(0,0,…0)，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，則稱x1,x2,…xm線性相關。反之，如果僅當(k1,k2,…km)=(0,0,…0)，才有k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，則稱x1,x2,…xm線性無關。定理一：設有n個矢量：a1=（a11，a12，…a1n）；a2=（a21，a22，…a2n）…；an=（an1，an2，…ann）如果行列式：則a1，a2…an必線

4、性無關。定理二：當m≥2時，矢量a1，a2…am線性相關的充要條件是其中至少有一個矢量可表示成其它m-1個矢量的線性組合。定義：在線性空間V中，若存在n個元素a1，a2…an滿足：1）：a1，a2…an線性無關；2）：V中的任一元素a總可由a1，a2…an線性表示，則稱a1，a2…an為線性空間V的一個基，n稱為V的維數(shù)，記為dimV=n。維數(shù)為n的線性空間稱為n維向量空間Vn，實n維列向量空間記為Rn，復n維列向量空間記為Cn。（2）矩陣的秩與矢量相關性的關系定理三：若rankA=r，則A中有r個行（列）矢量線性無關，而其余的行（列）矢量是這r個行（列）矢量的線性組合。定

5、理四：n階行列式的行（列）矢量線性無關的充要條件是其行列式不等于零。定理五：設A∈Rn×m，B∈Rm×s，則rank（AB）≤min（rankA，rankB）。三：逆矩陣和矩陣的微分和積分1：逆矩陣對于非奇異矩陣A，存在著一個逆矩陣A-1，使AA-1=A-1A=I。逆矩陣具有如下性質：(A-1)K=(AK)-1、(A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1其中AT、A*分別為A的轉置矩陣和共軛轉置矩陣。若A、B均為非奇異矩陣，有(AB)-1=B-1A-1。2：矩陣的微分設則3：矩陣的積分設1.1狀態(tài)空間表達式1.1.1狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間狀態(tài)——動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)

6、是一個可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。這些信息對于確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的。狀態(tài)變量——確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時刻的值以及的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)。（狀態(tài)變量的選擇可以不同）≥狀態(tài)空間——以所選擇的一組狀態(tài)變量為坐標軸而構成的正交線性空間，稱為狀態(tài)空間。例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：和可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量1.1.2狀態(tài)空間表達式前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態(tài)變量和輸入量之間的關系，稱為該電路的狀態(tài)方程，這是一個

7、矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)系輸出量和狀態(tài)變量關系的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，或稱為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。設：則可以寫成狀態(tài)空間表達式：推廣到一般形式：如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實常數(shù)時，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。如果這些元素中有些是時間t的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。嚴格地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的?？梢杂孟旅娴?/p>