現(xiàn)代控制理論--- 課件 .ppt

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1、第二章線性動態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動分析已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述,研究由輸入激勵和初始狀態(tài)影響所引起的系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動或輸出響應(yīng)，實(shí)質(zhì)上就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程并分析解的性質(zhì)，以解析形式或數(shù)值形式得出系統(tǒng)狀態(tài)的變化規(guī)律，屬于定量分析?！?、線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動分析一、線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程是指系統(tǒng)輸入量為零時(shí)的狀態(tài)方程：設(shè)解為向量冪級數(shù)：代入狀態(tài)方程得：等式兩邊同冪次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，即：將初始條件代入，有：狀態(tài)方程的解可寫為：仿照標(biāo)量指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)所以狀態(tài)方程的解為：線性定常系統(tǒng)自由運(yùn)動的狀態(tài)可視為是由它的初始狀態(tài)通過矩陣指數(shù)的轉(zhuǎn)移作用而得到的，因此又將矩

2、陣指數(shù)稱為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作。狀態(tài)方程的解又可寫為：當(dāng)初始時(shí)刻時(shí)，初始條件成為自由運(yùn)動的解為：矩陣指數(shù)函數(shù)為：二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)證：將代入即可證。結(jié)合性質(zhì)1還可得出9．對應(yīng)于對角陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣也是對角矩陣，為證：給出了狀態(tài)方程的頻域解法證：證：10．對應(yīng)于（約當(dāng)陣）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是一個(gè)右上三角陣：對于具有n個(gè)互不相同的特征值的系統(tǒng)矩陣A，由它們所對應(yīng)的線性無關(guān)的n個(gè)特征向量構(gòu)成的變換矩陣得：三、狀態(tài)運(yùn)動模態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動的全部信息。系統(tǒng)的動態(tài)特性是由系統(tǒng)矩陣A的特征值決定的，稱之為運(yùn)動模態(tài)。其中：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)9有

3、進(jìn)一步得到新的狀態(tài)空間中的狀態(tài)解：又把一個(gè)由決定的運(yùn)動稱為一個(gè)運(yùn)動模態(tài)，它們決定了系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動特性，（包括穩(wěn)定性、運(yùn)動速度、運(yùn)動方向等）。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)解是由系統(tǒng)的n個(gè)特征值決定的指數(shù)函數(shù)的線性組合。所以：可以證明，對于共軛復(fù)數(shù)對特征值，采用實(shí)數(shù)化處理方法，得出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與先化為復(fù)數(shù)對角矩陣，然后再得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有相同的結(jié)果。對于上一章所討論的例子：已求得特征值為：對應(yīng)的特征向量為：得特征值規(guī)范型變換矩陣及其逆陣分別為：歐拉公式采用實(shí)數(shù)化處理方法：對于共軛復(fù)數(shù)對特征值取變換矩陣為其中和分別是共軛復(fù)數(shù)對特征值對應(yīng)的特征向量的實(shí)部和虛部列向量變換

4、后的系統(tǒng)矩陣為：將表示為：有：（因?yàn)闈M足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)6的乘法交換率）對于有：（性質(zhì)9）對于有：臺勞級數(shù)公式所以得：對于對應(yīng)的特征向量為：變換矩陣P及其逆陣分別為：實(shí)數(shù)化處理得到的：的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：與直接用復(fù)數(shù)特征值求得的結(jié)果一致。四、矩陣指數(shù)的計(jì)算方法1．按定義求解一般不能寫出閉合形式，只能得到數(shù)值結(jié)果，適合用計(jì)算機(jī)計(jì)算，以實(shí)際精度確定項(xiàng)數(shù)。2．頻域法求解能得到閉合形式，不適合較高階次系統(tǒng)。例2－3已知，求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：求逆得預(yù)解矩陣：所以有3．利用特征值規(guī)范型求解上例有，求得它的二個(gè)特征值為A矩陣具有能控規(guī)范型形式，有范德

5、蒙德矩陣依此類推，都可表示為的線性組合。可表示為的線性組合：4．應(yīng)用凱萊－哈密頓（Cayley-Hamilton）定理求解（1）凱萊－哈密頓定理指出，矩陣A滿足其自身的特征方程：為A的特征多項(xiàng)式、…、A、I同理，對于有：、…、A、I（3）當(dāng)矩陣A具有n個(gè)相同的特征值，且其幾何重?cái)?shù)時(shí)，上式的各項(xiàng)系數(shù)由下式?jīng)Q定：所以，在中，可以用性組合替代所有的無窮項(xiàng)級數(shù)和成為的有限項(xiàng)和的表達(dá)式，即、…、A、I的線，使、…、A、I（2）當(dāng)矩陣A的n個(gè)特征值兩兩相異時(shí)，上式的各項(xiàng)系數(shù)由下式?jīng)Q定：（證明見教材p87）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。當(dāng)A既具有重特征值又具有單特征值時(shí)，可由上面兩種

6、情況的組合求得。例2－6應(yīng)用凱萊－哈密頓定理求解矩陣A的特征多項(xiàng)式為解得特征值：有：得：方程二邊左乘非齊次狀態(tài)方程描述控制作用u(t)下系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動。五、線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解一般形式：當(dāng)輸入量為幾種特定信號時(shí)，狀態(tài)運(yùn)動的表示式可以簡單化。（1）時(shí)的脈沖響應(yīng)：（2）時(shí)的階躍響應(yīng)：要求A矩陣的逆陣存在（3）時(shí)的斜坡響應(yīng)：也要求A矩陣的逆陣存在也可以應(yīng)用階躍響應(yīng)的式子。這時(shí)，先求出矩陣A的逆為：有：§2.線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動分析設(shè)解為解上述方程得即得,解變?yōu)榻庖唬€性時(shí)變齊次狀態(tài)方程的解代入原方程：有：解分兩種情況：有：又：所以：以此類推，即可證明這時(shí)

7、由Peano-Baker級數(shù)求得。即有：或：兩式不等，用Peano-Baker級數(shù)求：例2－9求解下面線性時(shí)變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程，其初始條件為?！蟮脿顟B(tài)解為：二、時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)：定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)（10個(gè)）并不都適用時(shí)變系統(tǒng)，但有4個(gè)是共同的：三、時(shí)變非齊次狀態(tài)方程的解有：零輸入分量零初值分量一般需用計(jì)算機(jī)來求解。得：第一種情況例2－10設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為求系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的狀態(tài)解和系統(tǒng)輸出響應(yīng)。代入，有：系統(tǒng)的狀態(tài)解為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：§3、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動分析一、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（一）遞推法求解1．定常系統(tǒng)狀態(tài)方程

8、的求解幾點(diǎn)說明：（1）如果初始時(shí)刻設(shè)為，則狀態(tài)解應(yīng)為：離散系統(tǒng)的狀