典型例題與習(xí)題3.ppt

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1、《數(shù)值分析》典型例題III五、六章內(nèi)容提要典型例題分析部分習(xí)題解答補(bǔ)充練習(xí)題????若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn是(n+1)個(gè)互異點(diǎn),則滿(mǎn)足插值條件P(xk)=yk(k=0,1,···,n)的n次插值多項(xiàng)式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且惟一。多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基(k=0,1,2,······,n)插值誤差余項(xiàng)其中,問(wèn)題1:構(gòu)造線(xiàn)性插值函數(shù)計(jì)算115的平方根近似值，估計(jì)近似值的誤差并指出有效數(shù)位數(shù)。已知x0,x1,···,xn處的值f(x0),f(x1

2、),···,f(xn).(j=0,1,…,n-1)(j=0,1,…,n-2)均差的定義牛頓插值公式(k=1,2,···,n)問(wèn)題2:證明一階差商的對(duì)稱(chēng)性：f[x0，x1]=f[x1，x0]，進(jìn)一步證明二階差商的對(duì)稱(chēng)性。牛頓插值余項(xiàng)(j=0,1)三次Hermite插值給定[a,b]的分劃:a=x0

3、,n).則稱(chēng)S(x)為三次樣條插值函數(shù).三次樣條的定義擬合函數(shù):?(x)=a0?0(x)+a1?1(x)+······+an?n(x)數(shù)據(jù)擬合的線(xiàn)性模型離散數(shù)據(jù)xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym超定方程組超定方程組最小二乘解:Ex1.設(shè)x0，x1，……，xn是互異的插值結(jié)點(diǎn)，l0(x)為對(duì)應(yīng)于x0的拉格朗日插值基函數(shù)，試證明xx0x1··········xnf(x)10··········0證由基函數(shù)插值條件計(jì)算差商··················代入牛頓插值

4、公式,并注意插值誤差為零,則有Ex2.設(shè)x0,x1,x2,…,xn為互異的結(jié)點(diǎn),求證Lagrange插值基函數(shù)滿(mǎn)足下列恒等式(1)(2)(k=1,···,n)證:(1)令在插值結(jié)點(diǎn)處Pn(xj)=0(j=0,1,2,···,n)n次多項(xiàng)式Pn(x)有n+1個(gè)相異零點(diǎn)?Pn(x)=0?所以將f(x)=xk(k≤n)代入,得(k=0,1,2,······,n)問(wèn)題:f(x)是(n+1)次多項(xiàng)式且最高次項(xiàng)系數(shù)為1，取互異的插值結(jié)點(diǎn)x0，x1，……，xn，構(gòu)造插值多項(xiàng)式Pn(x)，證明：f(x)=Pn(x)+(

5、x–x0)(x–x1)……(x–xn)(2)取f(x)=xk?f(n+1)(x)=0?Rn(x)=0Ex3.設(shè)P(x)是不超過(guò)n次的多項(xiàng)式,而?n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)證明存在常數(shù)Ak(k=0，1，…，n)使得證由n次多項(xiàng)式插值得其中?證明:F[x0,x1,······,xn]=Ex4.記?n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)(j=1,2,···,n)對(duì)比Lagrange插值和Newton插值中xn的系數(shù),得F[x0,x1,······,x

6、n]=Ex5.2次埃爾米特插值的適定性問(wèn)題,給定插值條件：f(x0)=y0，f’(x1)=m1，f(x2)=y2，插值結(jié)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件能使插值問(wèn)題有唯一解。思考:帶導(dǎo)數(shù)條件的二次插值多項(xiàng)式公式適定性f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；解:設(shè)H(x)=a0+a1x+a2x2,H’(x)=a1+2a2x?Ex6.求矩陣廣義逆G+=(GTG)-1GTEx7.求矩陣條件數(shù)Cond=Ex8*.設(shè)利用分部積分法證明Ex9.如果x∈[a,b],t∈[-1,1],(1)用線(xiàn)性插值方法推導(dǎo)聯(lián)系兩個(gè)區(qū)間的映

7、射(2)對(duì)于t∈[-1,1]上的二次正交多項(xiàng)式將其轉(zhuǎn)換為x∈[a,b]上的二次正交多項(xiàng)式Ex10.一個(gè)量x被測(cè)量了n次,其結(jié)果是a1,a2,···,an.用最小二乘法解超定方程組x=aj(j=1,2,···,n)x的值為多少？Ex11*.給定五個(gè)觀(guān)測(cè)值yj(j=–2，–1，0，1，2)寫(xiě)出求二次擬合函數(shù)P(t)=a0+a1t+a2t2的超定方程組系數(shù)矩陣，并求廣義逆.證取擬合函數(shù):Ex12.驗(yàn)證線(xiàn)性回歸公式xx1x2··········xmyy1y2··········ymy=a+bx其中b=lxy/l

8、xx,顯然?Ex13.如果X*是方程組GTGX=GTb的解，則X*是超定方程組GX=b的最小二乘解證由題設(shè),有GT(b–GX*)=0.對(duì)任意n維向量Y，故

9、

10、b–GY

11、

12、2≥

13、

14、b–GX*

15、

16、2等式僅當(dāng)Y=X*時(shí)成立。所以X*是超定方程組GX=b的最小二乘解。Ex14*.最小二乘逼近與最小平方逼近的關(guān)系在區(qū)間[0，1]上取m+1個(gè)等距點(diǎn)(k=0，1，2，…，m)對(duì)拋物線(xiàn)y=x2做線(xiàn)性擬合.試證明當(dāng)時(shí)，線(xiàn)性擬合函數(shù)為平方逼近問(wèn)題的解。