典型例題與習(xí)題2.ppt

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1、三、四章內(nèi)容提要典型例題分析思考題與練習(xí)題《數(shù)值分析》典型例題II???2/16一、解線(xiàn)性方程組直接法==順序消元法、列主元法、追趕法矩陣的直接分解、對(duì)稱(chēng)矩陣的LU分解二、向量和矩陣的范數(shù)向量范數(shù)、算子范數(shù)、三種矩陣范數(shù)、矩陣的條件數(shù)三、解線(xiàn)性方程組迭代法Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收斂性、初等變分原理、最速下降法、共軛梯度法*定理3.1約化主元ak+1,k+1(k)≠0(k=0,1,···,n-1)的充分必要條件是矩陣A的各階順序主子式不為零.3/16消元法使用的條件定理4.2:設(shè)x*為方程組Ax=b的解若

2、

3、B

4、

5、<1,則對(duì)迭代格式x(k

6、+1)=Bx(k)+f有定理4.3若Ax=b的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,則Jacobi迭代和Seidel迭代均收斂Ex1.如果A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣,則det(A)≠0.證:用反證法。設(shè)det(A)=0,則齊次方程組Ax=0有非零解u=[u1,u2,···,un]T.設(shè)考慮Au=0的第k個(gè)等式?兩邊約去

7、uk

8、，得這與主對(duì)角占優(yōu)矛盾,故det(A)≠0。4/16Ex2.設(shè)A對(duì)稱(chēng)且a11≠0,高斯消元法一步后,A約化為證明A2也是對(duì)稱(chēng)矩陣。證明:設(shè)所以,A2=A2T5/16Ex3.設(shè)n階矩陣A的各階順序主子式不為零,記各階順序主子式對(duì)應(yīng)的矩陣為Ak,(k=1,2,

9、···,n)。設(shè)(k>1)L1=1,U1=a11求的LU分解.Ex4.設(shè)n階矩陣A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣。高斯消元法一步后,A約化為證明A2也是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣。Ex5.設(shè)A=(aij)n×n為可逆下三角矩陣，證明A-1仍為下三角矩陣。證明:設(shè)當(dāng)i>j時(shí),aij的代數(shù)余子式Aij=0,故A的伴隨矩陣的右上角元素均為零,所以A的逆矩陣仍是下三角陣Jacobi迭代法的迭代矩陣8/16Gauss-Seidel迭代法的矩陣:BG-S=(D–L)-1UAx=b,將矩陣分裂:A=D–U–LBJ=D-1(U+L)特征多項(xiàng)式與特征方程:

10、?I–D-1(U+L)

11、=

12、D-1

13、·

14、?D

15、–(U+L)

16、?

17、?D–(U+L)

18、=0特征多項(xiàng)式與特征方程:

19、?I–(D–L)-1U

20、=

21、(D–L)-1

22、·

23、?(D–L)–U

24、?

25、?(D–L)–U

26、=09/16Ex6.若A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣，求證解方程組AX=b的高斯-賽德?tīng)柕ㄊ諗俊ＷC：高斯-賽德?tīng)柕仃嚍?D–L)-1U,該矩陣的特征方程為

27、?(D–L)–U

28、=0行列式對(duì)應(yīng)的矩陣為當(dāng)

29、?

30、>1時(shí)，利用A矩陣的主對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)，得故C(?)也是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣。由于嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣的行列式不為零，故?不是特征方程C(?)=

31、?(D–L)–U

32、=0的根。所以當(dāng)A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣時(shí),(D–L)-1U的

33、特征值必然滿(mǎn)足：

34、?

35、<1，從而高斯-賽德?tīng)柕仃囎V半徑小于1，迭代法收斂。10/1611/16Ex7.設(shè)A是一個(gè)可逆矩陣，矩陣序列滿(mǎn)足Xk+1=Xk(2I–AXk)，（k=0，1，2，……）證明:當(dāng)時(shí)證明：由Xk+1=Xk(2I–AXk)，得I–AXk+1=I–AXk(2I–AXk)=(I–AXk)2于是I–AXk=(I–AXk-1)2=(I–AXk-2)2×2=··········12/16?Ex8設(shè)A∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,定義

36、

37、x

38、

39、A=證明

40、

41、x

42、

43、A是Rn上的一種向量范數(shù)。13/16Ex9.統(tǒng)計(jì)三對(duì)角方程組法高斯消元法的工作量。Ex10.設(shè)A=(a

44、ij)n×n為可逆上三角矩陣，證明A-1仍為上三角矩陣。Ex11.求上三角矩陣的逆陣Ex12:求矩陣的2-范數(shù),以及2-范數(shù)意義的條件數(shù)14/16Ex13.有方程組Ax=b,其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣,且有迭代公式討論使迭代序列收斂的?的取值范圍.15/16Ex14證明n階矩陣的特征值為(k=1,2,···,n)Ex15求n階矩陣的特征值(1)A–1=B(I+R+R2+……)；(2)任意給定n階矩陣X0,由迭代格式Xk+1=XkR+B(k=0，1，2，……)產(chǎn)生的矩陣序列{Xk}收斂到矩陣A-1；(3)對(duì)矩陣序列{Xk}，有誤差估計(jì)式16/16ex16:設(shè)A是n階可逆矩陣,

45、有A的一個(gè)近似逆B,令R=I–AB如果

46、

47、R

48、

49、≤q<1，試證明