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1、《數(shù)值分析》典型例題I一、二章內(nèi)容提要典型例題分析例題與練習題實驗題介紹????具有n位有效數(shù)字,則絕對誤差滿足相對誤差滿足如果一個浮點數(shù)1.設(shè)x*是f(x)=0在[a,b]內(nèi)的唯一根,且f(a)·f(b)<0,則二分法計算過程中,數(shù)列滿足:
2、xn–x*
3、≤(b–a)/2n+12.Newton迭代格式:3.弦截法迭代格式:(n=0,1,2,·····)設(shè),若存在a>0,r>0使得則稱數(shù)列{xn}r階收斂.定理2.6設(shè)x*是的不動點,且而則p階收斂例1.設(shè)x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位
4、數(shù),試估計數(shù)據(jù)：x1×(x2+x3)的誤差限。解：由
5、e(x1)
6、≤0.5×10-2，
7、e(x2)
8、≤0.5×10-2，
9、e(x3)
10、≤0.5×10-2所以,
11、e(x2+x3)
12、≤10-2
13、e(x1×(x2+x3))
14、≤(1.21+0.5×13.46)×10-2=7.94×10-2例2.設(shè)計算球體V允許其相對誤差限為1%,問測量球半徑R的相對誤差限最大為多少?解：由球體計算公式分析誤差傳播規(guī)律故當球體V的相對誤差限為1%時，測量球半徑R的相對誤差限最大為0.33%。??相對誤差傳播規(guī)律Ex1.對球冠體積若允許其相對
15、誤差為1%,問應該對R,h如何限制?例3*.采用迭代法計算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效數(shù)字，求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。Ex2：對是否都有這一性質(zhì)?1-8序列{yn}滿足遞推關(guān)系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=√2≈1.41(三位有效數(shù)字).遞推計算y10時誤差有多大？思考:由遞推導出符號表達式可否用于計算？Ex3.用遞推公式:In=1–nIn-1(I0=1-e-1)推導In的符號表達式1-12利用級數(shù)可計算出無理數(shù)?的近似值。由于交錯級數(shù)的部分和數(shù)列Sn在其
16、極限值上下擺動，試分析，為了得到級數(shù)的三位有效數(shù)字近似值，應取多少項求和。解:由部分和只需?n>1000時,Sn有三位有效數(shù)Ex4.推導部分和數(shù)列加速的計算表達式2-6應用牛頓迭代法于方程x3–a=0,導出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。解：令f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式故立方根迭代算法二階收斂例4.設(shè)a為正實數(shù)，試建立求1/a的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運算，并考慮迭代公式的收斂。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,當
17、1–ax0
18、<1時，迭代公式收斂。解:建立方程利
19、用牛頓迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得例2.10用牛頓迭代法求解非線性方程組分別取初值(1,0),(2,2),牛頓迭代法計算數(shù)據(jù)如下nxnynxnyn0102211.06250.12501.64581.583321.06730.13911.55701.416331.06730.13921.54651.391741.06730.13921.54631.3912Ex6.若x*是f(x)=0的m重根,試分析牛頓迭代法的收斂階Ex7.若x*是f(x)=0的m重根,試證明修正的牛頓迭代法至少為二階收斂Ex9
20、隱函數(shù)定理條件滿足時,利用G(x,y)=0可以計算隱函數(shù)的值,設(shè)有G(x0,y0)=0,則在x0附近有y=y(x).試分別構(gòu)造牛頓迭代法和割線法計算函數(shù)值的迭代格式Ex8證明割線法可改寫如下迭代公式Ex11確定下列方程的全部隔根區(qū)間(1)xsinx=1；(2)sinx–e-x=0；(3)x=tanx；(4)x2–e-x=0Ex10在計算機上對調(diào)和級數(shù)逐項求和計算當n很大時，Sn將不隨n的增加而增加。試分析原因。Ex12對于復變量z=x+iy的復值函數(shù)f(z)應用牛頓迭代公式時為避開復數(shù)運算,令zn=xn+iynf(
21、zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn證明牛頓迭代法的收斂域問題:用牛頓迭代法求解復數(shù)方程z3–1=0，該方程在復平面上三個根分別是z1=1選擇中心位于坐標原點，邊長為2的正方形內(nèi)的任意點作初始值，進行迭代，把收斂到三個根的初值分為三類，并分別標上不同顏色（例如紅、黃、藍）。對充分多的初始點進行實驗，繪出牛頓迭代法對該方程的收斂域彩色圖。收斂到z1的牛頓迭代初值點集合收斂到z2的牛頓迭代初值點集合收斂到z3的牛頓迭代初值點集合在復平面內(nèi),有一些例外點是牛頓迭代不收斂的初值點.這些例外點構(gòu)成了茹利亞集(為紀
22、念法國女數(shù)學家Julia).
