經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”.pdf

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1、經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”————段廉潔一.模型名稱由來【模型背景】“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題?！灸Ｐ陀蓙怼俊鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼

2、斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。二.模型建立如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？模型解讀：最早見“PA+PB”型問題應(yīng)該是在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個(gè)“k”，故如何確定“k·PB”的大小是關(guān)鍵，如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“

3、PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3三.“阿氏圓”模型破解策略【破解策略詳細(xì)步驟解析】第一步：連接動(dòng)點(diǎn)于圓心O（一般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連），即連接OB、OP；第二步：計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況，如例OP子中的?kOBOCOP第三步：在OB上取點(diǎn)C，使得?；（核心關(guān)鍵步驟）OPOB第四步：連接AC，與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P【核心步驟另單獨(dú)解析】OCOP回顧圖2，在OB上取點(diǎn)C構(gòu)建?的目的是為了形成“母子型相似模型”，“母OPOB子型相似”的構(gòu)建是“阿氏

4、圓”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圓”直接秒殺。將圖2中△BPO單獨(dú)提取出，如圖4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似OCOP模型”，“母子型相似模型”的特點(diǎn)如圖4，△PCO與△BPO有公共角∠O，且?（在OPOB某些角度處理策略題中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O、∠B=∠OPC）OCOP2（構(gòu)造出△PCO∽△BPO后可以得到?，進(jìn)而推出OP?OB?OC，即“半徑的平OPOB方=原有線段×構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC，求出AC長(zhǎng)度“阿氏圓”即可破解）四.“阿氏圓”典型例題講解例1：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90

5、°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)1點(diǎn)，連接AP、BP，求AP+BP的最小值.2CP1CP1解答：如圖2，連接CP，因?yàn)镃P=2，AC=6，BC=4，簡(jiǎn)單推算得?，?，而題AC3CB211CP1目中是求“AP+BP”其中的“k=”，故舍棄在AC上取點(diǎn)，應(yīng)用“?”，所以在22CB2CDCPPD1CB上取一點(diǎn)D，使CD=1，則有???，無論P(yáng)如何移動(dòng)，，△PCD與△BCPCPCBBP211始終相似，故PD=BP始終成立，所以AP+BP=AP+PD，其中A、D為定點(diǎn)，故A、P、221221D三點(diǎn)共線時(shí)最小，AP+BP=AP+PD=AD=AC?CD=37（思

6、考：若求BP?PA呢？）23（大家仔細(xì)看第一題的解答過程，邊看邊與前面的“破解策略”對(duì)照，動(dòng)腦筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值.AO1BC5解答：首先連接OP，因?yàn)镺P=6，OA=3，OB=5，所以?、?，題目求的是“2PA+PB”，OP2OP6AO1其中的“k=2”與之相關(guān)的是?，故在OA上取點(diǎn)，考慮到是2PA，故在OC上取點(diǎn)H，OP2OAOPAP1使OH=12，則有???，無論P(yáng)如何移動(dòng)，△PAO與△HPO始終相似，故OPOHPH2PH=2PA始終成立，所以2PA

7、+PB=PH+PB，其中H、B為定點(diǎn)，故H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)最226小，2PA+PB=PH+PB=OH?OB=13.（思考：若求AP?PB呢？）5例3：如圖1，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C的半徑為4，點(diǎn)D是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接1AD、BD，則AD+BD的最小值為？2CD1CD2解答：首先連接CD，因?yàn)镃D=4，CB=8，CA=6，所以?、?，題目求的是CB2CA311CD1“AD+BD”，其中的“k=”與之相關(guān)的是?，故在CB上取點(diǎn)，故在CB上取點(diǎn)22CB2CHCDHD1H，使CH=2，則有???，無論P(yáng)如何移動(dòng)，△DHO與△BDC始終相似，CDCBB