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1、第五章矩陣的特征值和特值向量§1矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝兄匾獋€(gè)概念之一,它有著廣泛的應(yīng)用.本章將引進(jìn)特征值和特征向量的概念及其計(jì)算.并給出將矩陣對(duì)角化的方法.一.定義和求法定義6.1設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)?和n維非零列向量?滿足關(guān)系式A?=??則稱?為A的特征值,?為A的屬于?的一個(gè)特征向量.如果?是A的屬于?的特征向量，那么對(duì)k≠0,k?也是A的屬于?的特征向量，這是因?yàn)榭梢?特征向量不唯一，可有無窮多個(gè)。下面考慮如何求出A的特征值和相應(yīng)的特征向量.A（k?)=kA?=
2、k??=?(k?)由A?=??，可得(?E?A)?=0可見,?是n元齊次線性方程組(?E?A)x=0的非零解.所以有
3、?E?A
4、=0.定義6.2設(shè)A是n階方陣,?是參數(shù),則行列式稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.稱det(?E?A)=0為方陣A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個(gè)特征值.A的屬于特征值?＝?i的特征向量就是齊次線性方程組(?iE?A)x=0的所有非零解.的全部特征值和相應(yīng)的特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3)所以A的特征值為?1=
5、?2=1,?3=3.對(duì)?1=?2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩陣所以k?1(k≠0)是屬于?1=?2=1的全部特征向量.對(duì)?3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為?2=(-1,1,1)T.所以k?2(k≠0)是屬于?3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為?1=(0,0,1)T.得同解方程:的全部特征值和特征向量.解A的特征多項(xiàng)式為=(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3)所以A的特征值為?1=?2=1,?3=3.對(duì)?1=?2=1,解方程(E-A)x=0,由于
6、例2求矩陣所以屬于?1=?2=1的全部特征向量為K1?1+k2?2(k1,k2不同時(shí)為0)對(duì)?3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為?3=(1,-1,1)T.所以k?3(k≠0)是屬于?3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為?1=(1,1,0)T,?2=(0,0,1)T.得同解方程:設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明λ≠0且1/λ是A-1的特征值.例3證首先證明λ≠0.用反證法:假設(shè)λ=0是A的特征值,則再設(shè)?是A的屬于特征值λ的特征向量,則A?=λ?A-1?=1/λ?所以1/λ是
7、A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.類似地,若λ是A的特征值,則λk是Ak的特征值.?0E-A?=?-A?=0,這與A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,則?(λ)=a0+a1?+…+am?m是?(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.解由于由于－1的倒數(shù)也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1所以，A*=－A－1故，應(yīng)選“B”。二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=?n-(a11+a22+…+ann)?n-1+…+(-1)n
8、A
9、利用多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:定理6.1設(shè)?1,?
10、2,…,?n是n階方陣A的全部特征值,則?1+?2+…+?n=a11+a22+…+ann?1?2…?n=detA定理6.2設(shè)?1,?2,…,?s是方陣A的互異特征值,?1,?2,…,?s是分別屬于它們的特征向量,那么?1,?2,…,?s線性無關(guān).證明設(shè)x1?1+x2?2+…+xs?s=0類似地有:則,A(x1?1+x2?2+…+xs?s)=0,即?1x1?1+?2x2?2+…+?sxs?s=0?1kx1?1+?2kx2?2+…+?skxs?s=0(k=0,1,…,s-1),即所以有(x1?1,x2?2,
11、…,xs?s)=(0,0,…,0)定理6.3設(shè)?1,?2是A的兩個(gè)互異特征值,?1,?2,…,?s和?1,?2,…,?t分別是屬于?1,?2的線性無關(guān)的特征向量,則?1,?2,…,?s,?1,?2,…,?t線性無關(guān).即,xj?j=0,但?j?0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量組?1,?2,…,?s線性無關(guān).證明設(shè)k1?1+k2?2+…+ks?s+l1?1+l2?2+…+lt?t=0,?=k1?1+k2?2+…+ks?s,?=l1?1+l2?2+…+lt?t。則?+?=0而?,?是屬于不同特征
12、值?1,?2的特征向量,根據(jù)定理6.2，必有?=?=0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,線性無關(guān).例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.并且
13、A
14、=?1?2?3=-2，A*=?A?A－1=－2A－1.設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求
15、A*+3A-2E
16、.A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E＝B的3個(gè)特征值為μ1＝－2?1-1+3?1－2?1=－1,μ2＝－3，μ3＝3,于是
17、A*+3A-2E
18、=μ1μ2μ3=(
