矩陣地特征值和特征向量.ppt

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1、第7章矩陣的特征值和特征向量很多工程計(jì)算中,會(huì)遇到特征值和特征向量的計(jì)算,如:機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問(wèn)題;物理學(xué)中的各種臨界值等。這些特征值的計(jì)算往往意義重大。特征值:的根為矩陣A的特征值特征向量:滿足的向量v為矩陣A的對(duì)于特征值的特征向量稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式是高次的多項(xiàng)式,它的求根是很困難的。沒(méi)有數(shù)值方法是通過(guò)求它的根來(lái)求矩陣的特征值。通常對(duì)某個(gè)特征值,可以用些針對(duì)性的方法來(lái)求其近似值。若要求所有的特征值,則可以對(duì)A做一系列的相似變換,“收斂”到對(duì)角陣或上(下)三角陣,從而求得所有特征值的近似。7.1冪法矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。如:矩陣的譜半徑。冪法就是一種求矩

2、陣按模最大特征值的方法,它是最經(jīng)典的方法。冪法要求A有完備的特征向量系。即A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。在實(shí)踐中,常遇到的實(shí)對(duì)稱矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的特征值和特征向量如下:特征值:特征向量:冪法可以求,基本思想很簡(jiǎn)單。設(shè)線性無(wú)關(guān),取初值,作迭代設(shè):則有:(1)若:則k足夠大時(shí),有可見(jiàn)幾乎僅差一個(gè)常數(shù)所以:任意分量相除特征向量乘以任意數(shù),仍是特征向量(2)若:則k足夠大時(shí),有所以:所以:這樣,我們有算法:1、給出初值,計(jì)算序列2、若序列表現(xiàn)為,相鄰兩個(gè)向量各個(gè)分量比趨向于常數(shù),則3、若序列表現(xiàn)為,奇偶序列各個(gè)分量比趨向于常數(shù),則4、若序列表現(xiàn)為其他,退出不管求矩陣

3、A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,計(jì)算x(k)=Ax(k-1),結(jié)果如下例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取??0.41263,x1?(0.017451,0.014190)T.在冪法中,我們構(gòu)造的序列可以看出因此,若序列收斂慢的話,可能造成計(jì)算的溢出或歸0改進(jìn)-冪法的規(guī)范運(yùn)算則,易知:所以,有:最大分量為1即(1)若:時(shí),有時(shí),有收

4、斂分別收斂反號(hào)的兩個(gè)數(shù)(2)若:分別收斂到兩個(gè)數(shù),且絕對(duì)值不同。求:則:這樣,我們有算法:1、給出初值,計(jì)算序列2、若序列收斂,則3、若序列的奇偶序列分別收斂,且兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相同,則4、若序列的奇偶序列分別收斂,且兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值不同,則決定收斂的速度,特別是

5、?2/?1

6、希望

7、?2/?1

8、越小越好。不妨設(shè)?1>?2?…??n,且

9、?2

10、>

11、?n

12、。?1?2?nOp=(?2+?n)/2思路令B=A?pI,則有

13、?I?A

14、=

15、?I?(B+pI)

16、=

17、(??p)I?B

18、??A?p=?B。而,所以求B的特征根收斂快。反冪法所以,A和A-1的特征值互為倒數(shù)這樣,求A-1的按模最大特征值,就可以求出

19、A的按模最小特征值為避免求逆的運(yùn)算,可以解線性方程組若知道某一特征根?i的大致位置p,即對(duì)任意j?i有

20、?i?p

21、<<

22、?j?p

23、,并且如果(A?pI)?1存在,則可以用反冪法求(A?pI)?1的主特征根1/(?i?p),收斂將非???。思路7.1Jacobi方法-對(duì)稱陣P為n階可逆陣,則A與P-1AP相似,相似陣有相同的特征值。若A對(duì)稱,則存在正交陣Q(QTQ=I),使得直接找Q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣Q1,...,Qn對(duì)A作正交變換使得對(duì)角元素比重逐次增加,非對(duì)角元變小。當(dāng)非對(duì)角元已經(jīng)小得無(wú)足輕重時(shí),可以近似認(rèn)為對(duì)角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是這樣一

24、類方法。1、Givens旋轉(zhuǎn)變換對(duì)稱陣為正交陣p列q列記:則:變換的目的是為了減少非對(duì)角元的分量,則記則的按模較小根所以:2、Jacobi迭代取p,q使,則定理:若A對(duì)稱,則解記A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例用Jacobi方法計(jì)算對(duì)稱矩陣的全部特征值.從而有所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得從而A的特征值可取為?1?2.125825,?2?8.388761,?3?4.485401為了減少搜索非對(duì)角線絕對(duì)值最大元素時(shí)間,對(duì)經(jīng)典的Jacobi方法可作進(jìn)一步改進(jìn).1.循環(huán)Jacobi方法:按(1,2),(

25、1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的順序,對(duì)每個(gè)(p,q)的非零元素apq作Jacobi變換,使其零化,逐次重復(fù)掃描下去,直至?(A)

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