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《高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第8_3全微分.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第八章*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f
2、(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以函數(shù)在點可微.機(jī)動目錄上頁下
3、頁返回結(jié)束注意到,故有推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數(shù)的全微分.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用1.近似計算由全微分定義較小時,及有近似等式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(可用于近似計算;誤差分析)(可用于近似計算)半徑由20cm增大解:已知即受壓后圓柱體體積減少了例3.有一圓柱體受壓
4、后發(fā)生形變,到20.05cm,則高度由100cm減少到99cm,體積的近似改變量.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求此圓柱體例4.計算的近似值.解:設(shè),則取則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分別表示x,y,z的絕對誤差界,2.誤差估計利用令z的絕對誤差界約為z的相對誤差界約為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.利用公式求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：故絕對誤差約為又所以S的相對誤差約為計算三角形面積.現(xiàn)測
5、得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.在直流電路中,測得電壓U=24伏,解:由歐姆定律可知(歐)所以R的相對誤差約為0.3?+0.5?R的絕對誤差約為0.8?0.3?;定律計算電阻R時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差.相對誤差為測得電流I=6安,相對誤差為0.5?,=0.032(歐)=0.8?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求用歐姆內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.P72題1(
6、總習(xí)題八)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03時△z=0.02,dz=0.033.P73題7機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(L.P245例2)注意:x,y,z具有輪換對稱性答案:作業(yè)P241(3),(4);3;5;8;105.已知第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(0,0)可微.備用題在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1
7、)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明函數(shù)所以同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2)3)題目目錄上頁下頁返回結(jié)束4)下面證明可微:說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目目錄上頁下頁返回結(jié)束
