高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第12習(xí)題課(1).ppt

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1、一階微分方程的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題解法及應(yīng)用第十二章一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,

2、化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法1這是一個齊次方程.方法2化為微分形式故這是一個全微分方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)F(x)＝f(

3、x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P326題2求以為通解的微分方程.提示:消去C得P327題3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:提示:這是一階線性方程,其中P326題1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(

4、10)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:可化為關(guān)于x的一階線性方程提示:為貝努里方程,令提示:為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原方程化為,即則故原方程通解提示:令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)河邊點(diǎn)O的正對岸為點(diǎn)A,河寬OA=h,一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)二、解微分方程應(yīng)用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點(diǎn)O,提示:如圖所示建立坐標(biāo)系.設(shè)時刻t鴨子位于點(diǎn)P(x,y),設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,

5、水流速度大小為a,兩岸則關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):則鴨子游速b為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運(yùn)動速度為(求解過程參考P273例3)(齊次方程)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習(xí)題:P327題5,6P327題5.已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:設(shè)曲線上的動點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P327題6.已知某車間的容積為的新鮮空氣問

6、每分鐘應(yīng)輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?提示:設(shè)每分鐘應(yīng)輸入t時刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束t=30時解定解問題因此每分鐘應(yīng)至少輸入250新鮮空氣.初始條件得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束k=?作業(yè)P2693,7;P276*4(2);P2829(2),(4)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束