有限測(cè)定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理.ppt

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1、3-4有限測(cè)定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理一、置信度與μ的置信區(qū)間日常分析中測(cè)定次數(shù)是很有限的,總體平均值自然不為人所知。但是隨機(jī)誤差的分布規(guī)律表明,測(cè)定值總是在以μ為中心的一定范圍內(nèi)波動(dòng),并有著向μ集中的趨勢(shì)。因此,如何根據(jù)有限的測(cè)定結(jié)果來(lái)估計(jì)μ可能存在的范圍(稱(chēng)之為置信區(qū)間)是有實(shí)際意義的。該范圍愈小,說(shuō)明測(cè)定值與μ愈接近,即測(cè)定的準(zhǔn)確度愈高。但由于測(cè)定次數(shù)畢竟較少,由此計(jì)算出的置信區(qū)間也不可能以百分之百的把握將μ包含在內(nèi),只能以一定的概率進(jìn)行判斷。(一)已知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ時(shí)對(duì)于經(jīng)常進(jìn)行測(cè)定的某種試樣,由于已經(jīng)積累了大量的測(cè)定數(shù)據(jù),可以認(rèn)為σ是已知的。根據(jù)(3-14)

2、式并考慮u的符號(hào)可得:(3-14a)由隨機(jī)誤差的區(qū)間概率可知,測(cè)定值出現(xiàn)的概率由u決定。例如,當(dāng)u=±1.96時(shí)。x在μ-1.96σ至μ+1.96σ區(qū)間出現(xiàn)的概率為0.95。如果希望用單次測(cè)定值x來(lái)估計(jì)μ可能存在的范圍,則可以認(rèn)為區(qū)間x±1.96σ能以0.95的概率將真值包含在內(nèi)。即有(3-14b)由于平均值較單次測(cè)定值的精密度更高,因此常用樣本平均值來(lái)估計(jì)真值所在的范圍。此時(shí)有式(3-14b)和式(3-17)分別表示在一定的置信度時(shí),以單次測(cè)定值x或以平均值為中心的包含真值的取值范圍,即μ的置信區(qū)間。在置信區(qū)間內(nèi)包含μ的概率稱(chēng)為置信度,它表明了人們對(duì)所作的

3、判斷有把握的程度,用P表示。u值可由表3-1中查到,它與一定的置信度相對(duì)應(yīng)。(3-17)在對(duì)真值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí),置信度的高低要定得恰當(dāng)。一般以95%或90%的把握即可。式(3-14b)和式(3-17)還可以看出置信區(qū)間的大小取決于測(cè)定的精密度和對(duì)置信度的選擇,對(duì)于平均值來(lái)說(shuō)還與測(cè)定的次數(shù)有關(guān)。當(dāng)σ一定時(shí),置信度定得愈大,∣u∣值愈大,過(guò)大的置信區(qū)間將使其失去實(shí)用意義。若將置信度固定,當(dāng)測(cè)定的精密度越高和測(cè)定次數(shù)越多時(shí),置信區(qū)間越小,表明x或越接近真值,即測(cè)定的準(zhǔn)確度越高。例題1:注意:μ是確定且客觀存在的,它沒(méi)有隨機(jī)性。而區(qū)間x±uσ或是具有隨機(jī)性的,即它們

4、均與一定的置信度相聯(lián)系。因此我們只能說(shuō)置信區(qū)間包含真值的概率是0.95,而不能認(rèn)為真值落在上述區(qū)間的概率是0.95。(二)已知樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差S時(shí)在實(shí)際工作中,通過(guò)有限次的測(cè)定是無(wú)法得知μ和σ的,只能求出和S。而且當(dāng)測(cè)定次數(shù)較少時(shí),測(cè)定值或隨機(jī)誤差也不呈正態(tài)分布,這就給少量測(cè)定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理帶來(lái)了困難。此時(shí)若用S代替σ從而對(duì)μ作出估計(jì)必然會(huì)引起偏離,而且測(cè)定次數(shù)越少,偏離就越大。如果采用另一新統(tǒng)計(jì)量tP,f取代u(僅與P有關(guān)),上述偏離即可得到修正。t分布法:t值的定義:(3-18)t分布是有限測(cè)定數(shù)據(jù)及其隨機(jī)誤差的分布規(guī)律。t分布曲線見(jiàn)圖3-6,其中縱坐標(biāo)仍然

5、表示概率密度值,橫坐標(biāo)則用統(tǒng)計(jì)量t值來(lái)表示。顯然,在置信度相同時(shí),t分布曲線的形狀隨f(f=n-1)而變化,反映了t分布與測(cè)定次數(shù)有關(guān)有實(shí)質(zhì)。由圖3-6可知,隨著測(cè)定次數(shù)增多,t分布曲線愈來(lái)愈陡峭,測(cè)定值的集中趨勢(shì)亦更加明顯。當(dāng)f→∞時(shí),t分布曲線就與正態(tài)分布曲線合為一體,因此可以認(rèn)為正態(tài)分布就是t的極限。圖3-6t分布曲線與正態(tài)分布曲線一樣,t分布曲線下面某區(qū)間的面積也表示隨機(jī)誤差在此區(qū)間的概率。但t值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的u值不同,它不僅與概率還與測(cè)定次數(shù)有關(guān)。不同置信度和自由度所對(duì)應(yīng)的t值見(jiàn)表3-2中。表3-2tP,f值表(雙邊)t值P90%95%99%9

6、9.5%f(n-1)16.3112.7163.66127.3222.924.309.9214.9832.353.185.847.4542.132.784.605.6052.022.574.034.7761.942.453.714.3271.902.363.504.0381.862.313.353.8391.832.263.253.69101.812.233.173.58201.722.092.843.15301.702.042.75(3.01)601.672.002.66(2.87)1201.661.982.622.81∞1.641.962.582.81由表

7、3-2中的數(shù)據(jù)可知,隨著自由度的增加,t值逐漸減小并與u值接近。當(dāng)f=20時(shí),t與u已經(jīng)比較接近。當(dāng)f→∞時(shí),t→u,S→σ。在引用t值時(shí),一般取0.95置信度。根據(jù)樣本的單次測(cè)定值x或平均值分別表示μ的置信區(qū)間時(shí),根據(jù)t分布則可以得出以下的關(guān)系:(3-18a)或(3-19)式(3-18a)和式(3-19)的意義在于,真值雖然不為所知(σ也未知),但可以期望由有限的測(cè)定值計(jì)算出一個(gè)范圍,它將以一定的置信度將真值包含在內(nèi)。該范圍越小,測(cè)定的準(zhǔn)確度越高。例題2:式(3-19)是計(jì)算置信區(qū)間通常使用的關(guān)系式。由該式可知,當(dāng)P一定時(shí),置信區(qū)間的大小與tP,f、S、n

8、均有關(guān),而且tP,f與S實(shí)際也都受n的影響,即n值越

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