數(shù)值積分與微分.ppt

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1、第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析本章內(nèi)容數(shù)值積分基本概念Newton-Cotes求積公式復(fù)合求積公式Romberg求積公式Gauss求積公式多重積分?jǐn)?shù)值微分（略）2021/9/142NumericalAnalysis本講內(nèi)容數(shù)值積分的必要性代數(shù)精度插值型求積公式收斂性與穩(wěn)定性數(shù)值積分基本概念公式介紹代數(shù)精度余項(xiàng)表達(dá)式Newton-Cotes公式2021/9/143NumericalAnalysis數(shù)值積分微積分基本公式：(3)f(x)表達(dá)式未知，只有通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2)F(x)難求！甚至有時(shí)

2、不能用初等函數(shù)表示。如(1)F(x)表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算較困難。如2021/9/144NumericalAnalysis幾個(gè)簡(jiǎn)單公式矩形公式梯形公式拋物線公式基本思想：2021/9/145NumericalAnalysis一般形式數(shù)值積分公式的一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積方法將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算無需求原函數(shù)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地，用f(x)在[a,b]上的一些離散點(diǎn)a?x0

3、義：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式f(x)，公式精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對(duì)f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗(yàn)證方法2021/9/147NumericalAnalysis舉例例：試確定Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度解：將f(x)＝1,x,x2,…,xn代入求積公式，使其精確成立，得……存在唯一解：所以求積公式為：具有至少n階代數(shù)精度2021/9/148Numeri

4、calAnalysis舉例例：試確定系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗(yàn)證該公式對(duì)f(x)＝x3也精確成立，但對(duì)f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。2021/9/149NumericalAnalysis舉例例：(P100)試確定下面求積公式中的系數(shù)，使其具有盡可能高的代數(shù)精度。將f(x)＝x3代入，等號(hào)成立，故公式具有2次代數(shù)精度。解：將f

5、(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求積公式為2021/9/1410NumericalAnalysis代數(shù)精度容易驗(yàn)證：左矩形公式和右矩形公式具有零次代數(shù)精度中矩形公式和梯形公式具有一次代數(shù)精度特別地，任意具有m(?0)次代數(shù)精度的求積公式一定滿足：2021/9/1411NumericalAnalysis插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a?x0

6、icalAnalysis插值型求積公式當(dāng)f(x)＝1,x,x2,…,xn時(shí)，有即公式精確成立性質(zhì)：插值型求積公式具有至少n次代數(shù)精度定理：下面的求積公式具有至少n次代數(shù)精度的充要條件是該公式是插值型的證明：P1012021/9/1413NumericalAnalysis求積公式余項(xiàng)性質(zhì)：若求積公式的代數(shù)精度為m，則余項(xiàng)為其中K為待定系數(shù)，但與f(x)無關(guān)如何確定K的值？將f(x)=xm+1代入可得2021/9/1414NumericalAnalysis舉例例：試確定梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式解：梯形公式代數(shù)精度為1，故所以梯形公式的

7、余項(xiàng)為2021/9/1415NumericalAnalysis舉例例：試確定下面的求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式解：由前面的計(jì)算可知，該公式的代數(shù)精度為2，故所以該公式的余項(xiàng)為2021/9/1416NumericalAnalysis收斂性定義：如果求積公式滿足則稱該求積公式是收斂的。設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a?x00，若存在?>0，使得當(dāng)(i=0,1,…,n)時(shí)，有則稱該求積公式是穩(wěn)定的。定理：若Ai>0,i=0,1,…,

8、n，則下面的求積公式是穩(wěn)定的證明：P1032021/9/1418NumericalAnalysisNewton-Cotes公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式積分區(qū)間：[a,b]求積節(jié)點(diǎn)：xi=a+i?h求積公式：Cotes系數(shù)Newton-Cotes求積公式2021/9/1419