資源描述：
《數(shù)值計(jì)算08-線性方程組數(shù)值解法.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、數(shù)值計(jì)算第八章線性方程組的數(shù)值解法第八章線性方程組的數(shù)值解法Page2?問題的提出：n階線性代數(shù)方程組的一般形式為：?ax?ax???ax?b11112x1nn1??a21x1?a22xx???a2nxn?b2?????ax?ax???ax?b?n11n2xnnnn寫成矩陣-向量形式Ax?b其中A為系數(shù)矩陣，x為解向量，b為右端常向量。Page3?a11?a1n??x1??b1?A???????????x????b??????an1?ann???x??b??n??n?若矩陣A非奇異，即A的行列式detA?0，根據(jù)克萊姆（Gramer）法則，方程組有唯一解：Dix?i?1,2,?,niD其
2、中D表示detA，Di表示D中第i列換成b后所得的行列式。Page4當(dāng)階數(shù)較高時(shí)用這種方法求解是不現(xiàn)實(shí)的。n階行列式有n!項(xiàng)，每項(xiàng)又是n個(gè)數(shù)的乘積。對較大的n，其計(jì)算量之大，是一般計(jì)算機(jī)難以完成的。而且，這時(shí)的舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響也較大。例如，求解一個(gè)20階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運(yùn)算，而用克萊姆法則要進(jìn)行20次9.710?運(yùn)算，如用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬年。Page5線性代數(shù)方程組的計(jì)算機(jī)解法常用方法：消去法?直接法矩陣三角分解法?迭代法Page6?直接法：經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組的精確解的方法（若在計(jì)算過程中沒有舍入誤差）?迭代法：用某種極限過
3、程去逐步逼近線性方程組精確解的方法?迭代法具有占存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡單，原始系數(shù)矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性及收斂速度等問題8.1消去法Page7消去法在線性代數(shù)中已有詳細(xì)的討論，在此只給出一些說明以及算法的具體描述。消去法的基本思想：是通過將一個(gè)方程乘或除以某個(gè)常數(shù)，以及將兩個(gè)方程相加減，逐步減少方程中的變元數(shù)，最終使每個(gè)方程只含一個(gè)變元，從而得出所求的解。高斯消去法消去法常用方法：選主元消去法高斯－約旦消去法Page88.1.1高斯消去法——按自然順序進(jìn)行的消元法高斯消去法屬于直接法，一般由“消元過程”和“回代過程”兩部分組成。先舉幾個(gè)簡單實(shí)例，再對一般n階方程組說明高
4、斯消去法的基本思想。例1用高斯消元法求解方程組Page9?2x1?8x2?2x3?14??x1?6x2?x3?13??2x1?x2?2x3?5解用第一個(gè)方程削去后兩個(gè)方程中的x1,得?2x1?8x2?2x3?14??2x2?2x3?6???9x2??9再用第2個(gè)方程消去第3個(gè)方程中的x2,得?2x1?8x2?2x3?14??2x2?2x3?6???9x3?18Page10最后，經(jīng)過回代求得原方程組的解為18x???23?96?2x3x??12214?8x?2x23x??512例2解方程組?2x1?x2?x3?7??4x1?5x2?x3?11??x1?2x2?x3?0解：消元Page11?
5、2117?4?2117????r1?r2???45?111???2?????03?3?3??1?210?1?????r1?r3?0?2.50.5?3.5?2?2117??2.5???r?r2303?3?3???3??????????00?2?6??6?3?3x3回代得x3??3,x2??2,?237?x?x23x??112消去法Page12下面討論一般n階線性方程組的高斯消去法。Ax?bA?1?x?b?1??1?b?1?記為，A和的元素a?1??1?分別記為ij和bi，i,j?1,2,?,n，系數(shù)上標(biāo)?1?代表第1次消元之前的狀態(tài)。?1?a?0第1次消元時(shí)，設(shè)11?1?ai1對每行計(jì)算乘
6、數(shù)mi1??1?,i?2,3,?,na11Page13用?mi1乘以第1個(gè)方程，加到第i個(gè)方程，消去第2個(gè)方程到第n個(gè)方程的未知數(shù)x，得?2??2?Ax?b1即:??1??1??1??x??1??a11a12?a1n?1?b1??2??2??????2???a22?a2n??x2???b2?????????????2??2??????2????an2?ann???xn???bn????2??1??1?a?a?maijiji11j其中：??2??1??1?i,j?2,3,?,nb?b?mb?iii11Page14第k次消元?2?k?n?1?時(shí)，設(shè)第k?1次消元已完成，即有A?k?x?b?k
7、?其中：??1???1??1??1?b?aa??a?111121n??2???a?2?a?2???a?2???b2??22232n????????b?k????A?k?????k?a?k??a?k??bk??kkkn????????????b?k??k??k???n????ank?ann???k?aik?k?m?,i?k?1,?,n設(shè)a?0，計(jì)算乘數(shù)ik?k?kkakk只要a?k??0，消元過程就可以進(jìn)行下去，直到經(jīng)Page15kk
