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《探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法--用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解.ppt》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)北屯高級中學(xué)田文英aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)f/(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).一、知識回顧:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f/(x);③解不等式f/(x)>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f/(x)<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.關(guān)注用導(dǎo)數(shù)
2、本質(zhì)及其幾何意義解決問題3.思考:觀察下圖,當(dāng)t=t0時距水面的高度最大,那么函數(shù)h(t)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢?此點附近的圖象有什么特點?相應(yīng)地,導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律?二、新課講解——函數(shù)的極值:1.觀察右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象,從圖象我們可以看出下面的結(jié)論:函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大,我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值;函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小,我們說f(2)是函數(shù)的一個極小值。x2y0oaX1X2X3X4baxy如圖,函數(shù)y=f(x)在x1,x2,x3,x4等點的函數(shù)值與這些
3、點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?Y=f(x)在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點附近,y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律?2.探索思考:從而我們得出結(jié)論:若x0滿足f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左負右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負
4、;曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負,右側(cè)為正.oaX00bxyoaX0bxy如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于f(x0).因此,x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即;x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即.三、例題選講:例1:求y=x3/3-4x+4的極值.解:令,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時,,y的變化情況如下表:因此,當(dāng)x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3;而,
5、當(dāng)x=2時有極小值,并且,y極小值=-4/3.四.探索思考:導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎?可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)f/(x)>0右側(cè)f/(x)<0,那么f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)f/(x)<0右側(cè)f/(x
6、)>0,那么f(x0)是極小值.解方程f/(x)=0.當(dāng)f/(x)=0時:故當(dāng)x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.例2:求函數(shù)的極值.解:函數(shù)的定義域為令,解得x1=-a,x2=a(a>0).當(dāng)x變化時,,f(x)的變化情況如下表:練習(xí)1:求函數(shù)的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時,,y的變化情況如下表:因此,當(dāng)x=-1時有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時有極小值,并且,y極小值=-3.例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函數(shù)f(x)在x=0
7、,x=4處取得極值,且極小值為-1,求a、b的值.(2)若,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,試討論k≥-1成立的充要條件.解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.由于當(dāng)x<0時,當(dāng)x>0時,故當(dāng)x=0時,f(x)達到極小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等價于當(dāng)時,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0對一切恒成立.由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,當(dāng)a≥1時,g(x)≤0對一切恒成立.所以,a≥1是k≥-1成立的充要條件.例4:已知f(x)=ax
8、5-bx3+c在x=1處有極值,且極大值為4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意,應(yīng)有根,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a>0,列表如下:由表可得,即.又5