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1、第三節(jié)泰勒公式第三章二、麥克勞林（Maclaurin）公式三、泰勒公式的應用一、泰勒（Taylor）公式一、泰勒(Taylor)公式1.泰勒公式的建立回顧：特點:以直代曲設f(x)在x0處可導，則x的一次多項式不足:1°精確度不高2°難以估計誤差需要解決的問題:2°給出誤差：的具體估計式.1°觀察：有相交相切猜pn(x)與f(x)在x0處相同的導數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？pn(x)的確定:要求:求系數(shù)尋求n次近似多項式：要求:帶有皮亞諾型余項的n階泰勒公式階的導數(shù),有則對2.帶有皮亞諾型余項的n階泰勒(Taylor)公式定理3.6Rn(x)的確定：分析要證只需證
2、令(稱為余項),只需證證令則有洛必達法則帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式直到n+1階的導數(shù),有則對定理3.73.帶有拉格朗日型余項的n階泰勒(Taylor)公式其中解例1因此注1?泰勒公式的余項估計(1)當n=0時,泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?2)當n=1時,泰勒公式變?yōu)??泰勒公式的特例(3)若在泰勒公式中稱為麥克勞林公式二、麥克勞林（Maclaurin）公式由此得近似公式便可得到麥克勞林（Maclaurin）公式：在泰勒公式中取其中幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式：其中類似可得其中其中已知其中類似可得三、泰勒公式的應用1.在函數(shù)逼近中的應用誤差其中M為在包含0,x的某區(qū)
3、間上的上界.常見類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)n和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.2.在近似計算中的應用選擇解例2計算的近似值,要求精確到小數(shù)點后的第5位.因此符合精度要求，利用泰勒公式求極限解例3(方法1)用洛必達法則，需換元.解例4(方法2)用泰勒公式例5證明證4.利用泰勒公式進行證明證例6由麥克勞林公式有證明在開導數(shù)，從而兩式相減得從而由介值性定理，1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.內(nèi)容小結(jié)2.常用函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應用(1)近似計算(3)其他應用求極限,證明不等式等(2)利用多
4、項式逼近函數(shù)解思考題故備用題 例2-1計算cosx的近似值,使其精確到0.005,試確定x的適用范圍.解近似公式的誤差為令解得即當時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到0.005.用近似公式在例2-2計算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解中令x=1,得由于欲使的麥克勞林公式由計算可知當n=9時上式成立,因此求解用洛必塔法則不方便!用泰勒公式將分子展到項,由于例3-1計算解原式例3-2例3-3利用泰勒公式求極限解解例3-4因為所以證例5-1其中a,b是非負數(shù)，求證：對一切有二階導數(shù)，兩式相減得于是證例5-2使得可得從而得使得即存在一點證例5-3由泰勒公式，得故證例6-1所以
5、在因為所以泰勒簡介：泰勒(1685–1731)英國數(shù)學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林簡介：麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).
