有限元法基礎(chǔ)-10平板彎曲問題.ppt

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1、第十章平板彎曲問題10.1Kirchhoff板單元10.2Mindlin板單元10.3離散Kirchhoff板單元10.4小結(jié)110.平板彎曲問題本章要點(diǎn)板彎曲理論的基本假設(shè)和方程Kirchhoff板單元的構(gòu)造方法和特點(diǎn)Mindlin板單元的構(gòu)造方法和特點(diǎn)離散Kirchhoff單元的基本特點(diǎn)有限元法基礎(chǔ)210.平板彎曲問題關(guān)鍵概念C1類板單元C0類板單元非協(xié)調(diào)板單元協(xié)調(diào)板單元Ks奇異性條件Ke非奇異性條件DKT板單元有限元法基礎(chǔ)310.平板彎曲問題有限元法基礎(chǔ)4ZXY中面板的特點(diǎn)：在一個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向，中面是平面，只承受橫向載荷。10.1Ki

2、rchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)5一.基本方程Kirchhoff假設(shè)1）變形前垂直于中面的直線段，變形后依然垂直于中面，并且忽略它的伸縮變形2）忽略厚度方向的應(yīng)力，即10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)6板中任意點(diǎn)的位移表示為三維問題二維問題10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)7定義廣義應(yīng)變和廣義內(nèi)力廣義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系抗彎剛度10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)8應(yīng)力與廣義內(nèi)力的關(guān)系平衡方程以中面撓度w表示的微分方程10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)9邊界條件1）固支類邊界2）簡(jiǎn)支類邊界3）給定力邊界10.1Kirchhoff

3、板單元有限元法基礎(chǔ)1010.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)11最小勢(shì)能原理以上廣義應(yīng)變是撓度w的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系，基于此理論的板單元是C1類連續(xù)問題。10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)12有限元列式設(shè)插值函數(shù)為通過泛函取駐值得有限元方程單元?jiǎng)偠染仃?0.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)13二.非協(xié)調(diào)矩形板單元每節(jié)點(diǎn)有3DOF，4節(jié)點(diǎn)單元共12個(gè)節(jié)點(diǎn)DOF。10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)14插值函數(shù)按廣義坐標(biāo)有限元法，在Pascal三角形中選取12項(xiàng)多項(xiàng)式10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)1510.1Kirchhof

4、f板單元有限元法基礎(chǔ)16以節(jié)點(diǎn)DOF表示插值函數(shù)表示為矩陣形式10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)17以自然坐標(biāo)表示10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)18收斂性檢查1）位移模式代表剛體位移沿Z向的平移和繞y軸和X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2）位移模式代表常曲率滿足完備性要求10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)193）單元間連續(xù)性檢查單元邊界為x=常數(shù)或y=常數(shù)，w是三次變化曲線。以2－3邊為例，可以由4個(gè)參數(shù)完全確定。在2－3邊的法向?qū)?shù)為為三次x變化,而在邊界上只有2個(gè)參數(shù)。法向?qū)?shù)不連續(xù)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)204）由于在單

5、元間邊界上法向?qū)?shù)不連續(xù)，所以插值函數(shù)是非協(xié)調(diào)的；5）單元不滿足收斂準(zhǔn)則，但是可以驗(yàn)證該單元通過補(bǔ)片試驗(yàn)（PatchTest），故當(dāng)單元剖分不斷縮小時(shí)，計(jì)算結(jié)果還是能收斂于精確解。通過補(bǔ)片試驗(yàn)實(shí)際驗(yàn)算10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)21例:均布載荷下四邊固支方形薄板,利用對(duì)稱性取四分之一板計(jì)算10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)22例:載荷作用下方形薄板,利用對(duì)稱性取四分之一板計(jì)算注：由于是非協(xié)調(diào)元，位移解并補(bǔ)滿足下界條件10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)23三.3節(jié)點(diǎn)三角形非協(xié)調(diào)板單元共有3×3＝9個(gè)DOF三次完備多項(xiàng)式ijm

6、10項(xiàng)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)24插值函數(shù)面積坐標(biāo)剛體位移常應(yīng)變10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)25坐標(biāo)變換代入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)，得到形函數(shù)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)26位移插值函數(shù)的特點(diǎn)插值函數(shù)包含有完備的線性項(xiàng)和二次項(xiàng)，能正確反映剛體位移和常應(yīng)變；在單元邊界上，w是三次變化，可由兩端節(jié)點(diǎn)的w和w,s唯一確定，w是協(xié)調(diào)的；在單元邊界上，w,n是二次變化的,不能由兩端節(jié)點(diǎn)的w,n確定，w,n是非協(xié)調(diào)的。10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)27Irons等已證明如果單元網(wǎng)格是由3組等間距直線產(chǎn)生的，單元

7、能夠通過補(bǔ)片試驗(yàn)，并收斂于解析解。10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)283節(jié)點(diǎn)三角板元四.協(xié)調(diào)單元思路：在邊界(如i-j)上尋找校正函數(shù)，具有性質(zhì)1）在全部邊界上2）在j-m,i-m邊上3)在i-j上，按二次變化，且在中點(diǎn)上取1單元邊界上w,n二次變化非協(xié)調(diào)元10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)29插直函數(shù)w是非協(xié)調(diào)元的產(chǎn)值函數(shù),為待定常數(shù)。目的：調(diào)整使在單元邊界中點(diǎn)處的w,n等于兩端節(jié)點(diǎn)的w,n的平均值，也即使得邊界上法向?qū)?shù)線性化，可由兩端點(diǎn)的值唯一確定。10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)30的確定線性化要求，在邊界中點(diǎn)處原插

8、值函數(shù)計(jì)算出的各邊界中點(diǎn)值原插值函數(shù)計(jì)算的邊界中點(diǎn)平