薄板彎曲問題的有限元法

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1、1——薄板彎曲問題的有限元法有限元法的原理及應用學院：機械工程學院班級：鍛壓1班小組成員：周均博張楊曹琛孔曉華祖曉陽2薄膜δ—厚度薄板厚板b—板長寬最小值一.定義及假設1.定義：工程力學理論研究中，概念定義的板是指厚度尺寸相對長寬尺寸小很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。32、基本假設（克希霍夫假設）1）直線假設：即變形

2、前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線，且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應變，即42）厚度不變假設：即忽略板厚變化。即。由于板內(nèi)各點的撓度與z坐標無關，只是x，y的函數(shù)，即3）中面上正應力遠小于其它應力分量假設：平行于中面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿z向的正應力可忽略，即4）中面無伸縮假設：彎曲過程中，中面無伸縮，（薄板中面內(nèi)的各點都沒有平行中面的位移）即縱向荷載：可以認為他們沿薄板厚度均勻分布，因而他們所引起的應力、形變和位移可以按平面應力問題進行計算。橫向荷載：將使薄板彎曲，他們所引起的應力、形

3、變和位移，可以按薄板彎曲問題進行計算。5二、基本方程1）幾何方程積分可得繞x軸轉(zhuǎn)角繞y軸轉(zhuǎn)角分別表示薄板彎曲曲面在x，y方向的曲率表示薄板彎曲曲面在x，y方向的扭率變形前的直線變形后的直線zxz62）物理方程（廣義胡克定律）寫為矩陣形式：73）內(nèi)力矩公式及平衡方程單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩xyzδ8圖中力矩雙箭頭方向表示是力矩的法線方向，列平衡方程：由應力的正負方向的規(guī)定得出：正的應力合成的主矢量為正，正的應力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負。9應力分量表達式10三、矩形薄板單元分析用有限元法求解薄板

4、彎曲問題，常在板中面進行離散，常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時可傳遞力和力矩，節(jié)點當作剛性節(jié)點，即節(jié)點處同時有節(jié)點力和節(jié)點力矩作用。每個節(jié)點有三個自由度，即一個擾度和分別繞x，y軸的轉(zhuǎn)角。1.設位移函數(shù)mjil節(jié)點位移分量和節(jié)點力分量11薄板彎曲時，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數(shù)，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函數(shù)，故薄板矩形單元的位移函數(shù)的選擇實際就是w(x,y)的選取。注意單元有12個自由度，則另兩個轉(zhuǎn)角為：12待定系數(shù)：利用12個節(jié)點位移值可待定12個系數(shù)，整理w(x,y)為插值函數(shù)

5、形式：其中，形函數(shù)：132.單元收斂性分析：1）位移函數(shù)中包含有常量項，反映了剛體位移，如為擾度常量，為轉(zhuǎn)角常量。2）位移函數(shù)中包含了常量應變項，如形變分量為：表明薄板處于均勻彎扭變形狀態(tài)，即常應變狀態(tài)。這里的常應變?yōu)閿_度的二次函數(shù)，而在平面單元中為位移的一次式，這是因為板有厚度，其形變是指不同厚度上的。143）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)。設邊界ij邊y=-b則有位移四個系數(shù)剛好通過i，j兩個端點的擾度值和繞y軸的兩個轉(zhuǎn)角值唯一確定；同時，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續(xù)。如對于

6、繞x軸的轉(zhuǎn)角：四個系數(shù)不能通過i，j的兩個已知轉(zhuǎn)角值唯一待定；同理，相鄰單元在此邊界上也不能唯一確定四個系數(shù)。故轉(zhuǎn)角不連續(xù)。所以，薄板矩形單元是非協(xié)調(diào)單元。但實踐表明，當單元細分，其解完全能收斂真實解。153.單元剛度矩陣1）應變矩陣其中：[B]為x，y的函數(shù)，與z無關162）單元剛陣174.總剛矩陣集成按平面問題的有限元法介紹的方法可集成得到結(jié)構(gòu)的總剛矩5.載荷移置∑6.邊界條件出來7.求解線性方程組18四.三角形薄板單元1.面積坐標三角形單元的面積坐標定義:如圖示三角形單元中，任意一點P的位置可以用下面3個比例確定。

7、其中A為△ijm的面積，Ai，Aj，Am分別為△Pjm，△Pim，△Pij的面積。比值Li，Lj，Lm就稱為P點的面積坐標。ijmp19實際為三角形的高與高的比，即平行jm線的直線上的所有點有相同的。同時，易得即，三角形內(nèi)與任一條邊平行的直線上的所有點有相同的面積坐標。比較面積坐標與平面三角形單元形函數(shù)可知，面積坐標正是平面三節(jié)點三角形單元的三個形函數(shù)。面積坐標與整體坐標之間的變換。202、位移函數(shù)三角形單元能較好地適應斜邊界，實際中廣泛應用。單元的節(jié)點位移仍然為節(jié)點處的撓度wi和繞x，y軸的轉(zhuǎn)角θxi、θyi，獨立變量

8、為wi。三角形單元位移模式應包含9個參數(shù)。若考慮完全三次多項式，則有10個參數(shù)：若以此為基礎構(gòu)造位移函數(shù)，則必須去掉一項，則無法保證對稱。經(jīng)過多種選擇，采用面積坐標比較合理可行。對于三角形單元，面積坐標的一、二、三次齊次分別有以下項：21將三個節(jié)點的位移和面積坐標代入上式，可得：α1=wi，α2=wj，α3=wm。代