矩陣與多元正態(tài)分布

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1、多元統(tǒng)計分析的理論基礎(chǔ)一、矩陣二、多元正態(tài)分布一、矩陣基礎(chǔ)知識矩陣形式和定義矩陣運算矩陣行列式逆矩陣特征值和特征向量一、矩陣形式及定義?x11x12?x1p???xx?xN×p階矩陣：X??21222p???????????xN1xN2?xNp??v如果矩陣的行數(shù)等于列數(shù)即n=p，則該矩陣為方陣。v如果矩陣僅有1列，則該矩陣為列向量.?xr1???xx??r2?r???????xrp??v如果矩陣僅有1列，則該矩陣為行向量。'??xr?xr1xr2?xrpv轉(zhuǎn)置矩陣（TransposeofaMatrix）：將矩陣的行和列交換。X、A、B的

2、轉(zhuǎn)置矩陣：?x11x21?xN1??xx?x??859075??859276?X???1222N2?A??B??????????808063??838566????????x1Px2P?xNp??v例：給定一個矩陣A，矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣是？？其他特殊矩陣形式和定義：v零矩陣:矩陣中所有元素為零。?000???000????000??v對角矩陣：除開主對角線上的元素外，其他元素皆為零的方陣。?100???020????005??v對稱矩陣—矩陣的轉(zhuǎn)置和它本身相等的方陣?；蛑鲗蔷€外的元素關(guān)于主對角線對稱。v單位矩陣：主對角線上元素皆為1的對角

3、矩陣。v逆矩陣：對于一個方陣A，若有方陣B使得AB=BA=I。則方陣B則為方陣A的逆矩陣（或稱方陣A則為方陣B的逆矩陣）。v矩陣的跡：方陣主對角線上元素之和。（注意：僅適用于方陣）例：給定一個矩陣A，求矩陣A的跡？tr(A)=a+b二、矩陣運算v1、矩陣加法和減法例：只有當(dāng)兩個矩陣同行數(shù)、同列數(shù)時，才能相加減。續(xù)例1：欲求每人、每科兩次考試的總分?jǐn)?shù)，即把兩個矩陣的對應(yīng)元素相加。v2、矩陣乘法（1）數(shù)乘運算：續(xù)例1：求每人每科兩次考試的平均成績v（2）矩陣與矩陣相乘:兩個矩陣相乘，第一個矩陣的列數(shù)必須等于第二個矩陣的行數(shù)v（3）矩陣乘法的代

4、數(shù)式????AB?B?A??AB不等于BA.?AB=0并不意味著A=0orB=0?若A=0orB=0則AB=0.三、矩陣行列式和逆矩陣pX?x.Xv矩陣行列式:矩陣X的行列X式?1j1jj?11?j1j1j為X1j?(?1)XX。其中，為除開第1行第j列元素后余下的矩陣行列式。?x11x12?x1p???xx?x?21222p?X???????????xp1xp2?xpp??只有方陣才有行列式v例:?62?X???的行列式X????23?1?11?2X?6?3?2?2?14X?6?(?1)3?2?(?1)2?18?4?14?621?v例：

5、??X?234的行列式X＝？？????148??3424231?11?21?3X?6?(?1)?2?(?1)?1?(?1)481814?6?(3?8?4?4)?2?(2?8?4?1)?1?(2?4?3?1)?48?24?5?29v逆矩陣：對于一個方陣A，若有方陣B使得AB=BA=I。則方陣B則為方陣A的逆矩陣（或稱方陣A則為方陣B的逆矩陣）?如果方陣的行列式等于0，則該方陣無逆矩陣?如果方陣的行列式等于0，則稱該方陣為奇異矩陣；否則，為非奇異矩陣?如果A的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，則稱矩陣A正交v二階逆矩陣運算：v例：只有方陣才有特征值三、特

6、征值與特征向量v若A為n?n階方陣，I為n?n階單位陣。若算式成立，則將?＝稱為方陣A的特征值。v方程稱為特征方程。v如果C為非零向量，有AC=?C或(A??I)C?0則C稱為方陣A的特征值對應(yīng)的特征向量注意：方陣A的特征值之和等于方陣A的跡例：先用7代替特征方程左端行列式中的λ3－7542－7v例：求出以下方陣的特征值和特征根二、多元正態(tài)分布多元分布函數(shù)及密度函數(shù)（見定義1.2；1.3）o例：口袋中有2白球3黑球,有放回取兩次，每次任取一球.設(shè)X為第一次得白球數(shù),Y為第二次得白球數(shù)。o求(X,Y)的聯(lián)合分布和邊際分布。o例：益壽寧的降血

7、脂效果o求均值向量和協(xié)方差陣、相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣＝？？o例：在一項實驗中，測得大豆的周齡x(以周計)和平均高度y(厘米)的數(shù)據(jù)如下：o求兩變量的協(xié)方差陣和相關(guān)系數(shù)陣。?（二）多元正態(tài)分布v1、定義（見書定義1.5）v2、性質(zhì)?每一個變量均服從正態(tài)分布?變量的線性組合服從正態(tài)分布?m元正態(tài)分布中的任意k個變量服從k元正態(tài)分布?m元正態(tài)分布的條件分布仍服從正態(tài)分布v3、條件分布和獨立性（見書P13）?（三）統(tǒng)計距離和馬氏距離**v1、歐氏距離（直線距離）?定義?缺陷?標(biāo)準(zhǔn)化處理的必要v例：橫軸x1代表重量（單位：kg),縱軸x2代表長度

8、（單位：cm)。有四個點A,B,C,D,見圖。x210C22AB?5?10?1255CD?102?12?101ADBx11510若x用mm作單位，x單位不變，則A坐標(biāo)為（0，50），21C坐標(biāo)