布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展.ppt

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1、第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展Copyright?ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的缺陷交易成本波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)隨機(jī)波動率不確定的參數(shù)跳躍擴(kuò)散過程B-S模型的缺陷交易成本的假設(shè)波動率為常數(shù)的假設(shè)不確定的參數(shù)資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變動交易成本的影響規(guī)模效應(yīng)和交易成本差異化。即使是同一個投資者，在調(diào)整過程中，持有同一個合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。H-W-W交易成本模型基本假設(shè)：投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個期權(quán)；整個投資組合

2、的調(diào)整存在交易成本；投資者的組合調(diào)整策略事先確定；股票價(jià)格的隨機(jī)過程以離散的形式給出；保值組合的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)銀行存款利率H-W-W模型推導(dǎo)構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合之后,整個組合價(jià)值的變化相應(yīng)減少：要求交易成本項(xiàng),關(guān)鍵要獲得n值，顯然：（7-1）H-W-W模型推導(dǎo)（續(xù)）由Ito引理：根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：（7-3）（7-2）（7-4）對H-W-W方程的理解項(xiàng)在實(shí)際中具有深刻的金融含義的存在使得H-W-W方程大部分時(shí)候是一個非線性方程期權(quán)多頭和空頭價(jià)值的不一致性對于單個期權(quán)多頭，H-W-W方程實(shí)際上是一個以為波動率的B

3、S公式交易成本的其他模型期權(quán)組合中的值不是同一個符號的情形交易成本不是前述的簡單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價(jià)格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況W-W模型波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方向的變動規(guī)律：“波動率微笑”（VolatilitySmiles）：隱含波動率會隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同；波動率期限結(jié)構(gòu)（VolatilityTermStructure）：隱含波動率會隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。波動率微笑對于貨幣期權(quán)而言，隱含波動率常常呈現(xiàn)近似U形。平價(jià)期權(quán)的波動率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的波動率會隨著實(shí)值或虛值程

4、度的增大而增大，兩邊比較對稱。股票期權(quán)的波動率微笑則呈現(xiàn)另一種不同的形狀，即向右下方偏斜。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格上升的時(shí)候，波動率下降，而一個較低的執(zhí)行價(jià)格所隱含的波動率則大大高于執(zhí)行價(jià)格較高的期權(quán)。貨幣期權(quán)的波動率微笑與分布股票期權(quán)的波動率微笑與分布波動率期限結(jié)構(gòu)從長期來看，波動率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時(shí)，隱含波動率的變化較劇烈，隨著到期時(shí)間的延長，隱含波動率將逐漸向歷史波動率的平均值靠近。波動率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時(shí)間的影響。大多時(shí)候，期權(quán)到期日越近，波動率“微笑”就越顯著，到期日越長，不同價(jià)格的隱含波動率差異越小，接近于常數(shù)波動率矩陣執(zhí)行價(jià)格剩余有效期

5、0.900.951.001.051.10一個月14.213.012.013.114.5三個月14.013.012.013.114.2六個月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0意義和應(yīng)用波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。因此放松波動率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個重要方向。目前主要有兩種不同的策略：從期權(quán)市場出發(fā)的改良策略創(chuàng)新策略隨機(jī)波動率模型

6、一般模型股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)波動率模型（Hull等）隨機(jī)波動率對定價(jià)的影響當(dāng)波動率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)格不相關(guān)時(shí)，歐式期權(quán)的價(jià)格是BS價(jià)格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：在股票價(jià)格和波動率相關(guān)的情況下，這個隨機(jī)波動率模型沒有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價(jià)格波動率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會因到期時(shí)間的不同而不同GARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型：采用的形式，用最大似然估計(jì)法估計(jì)三個參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計(jì)算出特定時(shí)刻波動率的大?。?-5）不同時(shí)期的權(quán)重分布對公式7-5的右邊右邊重復(fù)的迭代過程，可以得

7、到：通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式（7-6）寫作由于，可得未來波動率的預(yù)期值為：（7-6）不確定的參數(shù)問題：現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問題：當(dāng)參數(shù)價(jià)值是不確定的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)？解決方法：假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)，之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而會發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價(jià)值也將位于某個區(qū)間之內(nèi)不確定的波動率仍然構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合，組合價(jià)值：假設(shè)與考慮最糟糕的情況，可以確定期權(quán)的最低值，用公式表示：期權(quán)價(jià)值的下限期權(quán)價(jià)值下限滿足其中，且。期權(quán)價(jià)值的上限期權(quán)價(jià)值上限滿足：其中，。不確定的利率考

8、察組合，假設(shè)：，則：此時(shí)，我們選擇的利