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1、趣味學(xué)習(xí)奧數(shù)：魔方動(dòng)作解密 作者：北大校區(qū)奧數(shù)老師劉姝玲 現(xiàn)在中小學(xué)最流行的動(dòng)腦游戲要算是魔方了，現(xiàn)在魔方的玩法也是多種多樣，很多孩子想學(xué)，那么我們一起來開動(dòng)腦筋吧 魔方有多少種可以達(dá)到的狀態(tài)？答案是43252003274489856000約4000億億?！ ∷惴ǎ?個(gè)角方塊排列在8個(gè)位置，12個(gè)棱方塊排列在12個(gè)位置，共有8！×12！種。又每個(gè)棱方塊有2個(gè)朝向，每個(gè)角方塊有3個(gè)朝向，共3^8×2^12種。因此魔方的狀態(tài)數(shù)是8！×12！×3^8×2^12=519024039293878272000種，51902億億以上?！ 〉?0個(gè)方塊中，18個(gè)位置確定，另外2個(gè)
2、位置也就確定了。因此要去掉因子2！。在8個(gè)角方塊中，7個(gè)朝向確定，第8個(gè)朝向也就確定了；在12個(gè)棱方塊中，11個(gè)朝向確定，第12個(gè)朝向也就確定了。這樣要再去掉3×2因子，實(shí)際是上面數(shù)的1/12，即總數(shù)8！×12！×3^7×2^11/2=43252003274489856000. 從另一個(gè)角度考慮上面的除數(shù)12.如果我們確定了6種顏色，每種顏色涂在魔方的1個(gè)表面上的9個(gè)小方塊上。然后然后我們拆開魔方，再打亂了重新拼裝起來，那么并不是所得到的每個(gè)魔方都能還原為初始狀態(tài)。具體說，有519024039293878272000種拼法，可以分為12類，每類4325200327448985
3、6000種。同類里任何兩個(gè)狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)換，而不同類間不能轉(zhuǎn)換?！ ∧Х絼?dòng)作的群論表示舉例 面對(duì)右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉(zhuǎn)動(dòng)Y3后如右圖，就可得出各塊的變動(dòng)。??? 類似分析Z3，??? 二者復(fù)合為? 其中對(duì)角方塊，右上角的正號(hào)表示此塊順時(shí)針轉(zhuǎn)2π/3，負(fù)號(hào)表示反時(shí)針轉(zhuǎn)。對(duì)棱方塊表示有一個(gè)方向的翻轉(zhuǎn)。上面分析說明，經(jīng)過Y3，Z3兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，上右前角塊回到原地，但順時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3，還有5個(gè)角方塊做了一個(gè)輪換，各反時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3，或說順時(shí)針轉(zhuǎn)了4π/3，7個(gè)棱方塊做了一個(gè)輪換?！ ∵@樣，可以看出， (1)如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做3次，那么上右前角方塊會(huì)回到
4、原來位置，且轉(zhuǎn)了6π/3，即沒有轉(zhuǎn)動(dòng)?！ ?2)如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做5次，那5個(gè)角方塊都會(huì)回到原來位置，但都轉(zhuǎn)了10π/3，或4π/3，即反時(shí)針轉(zhuǎn)2π/3. (3)如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做7次，那7個(gè)棱方塊都會(huì)回到原來位置，且沒有轉(zhuǎn)動(dòng)?！ ∥覀冇媚Х诫娔X游戲可以輕易的驗(yàn)證這些結(jié)論。 用這種方法，我們只要給出9個(gè)基本動(dòng)作X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3，Z1，Z2，Z3，就可以求出它們的逆動(dòng)作X1'，X2'，X3'，Y1'，Y2'，Y3'，Z1'，Z2'，Z3'，在通過計(jì)算求出任何若干次動(dòng)作的結(jié)果。我們已經(jīng)不需要具體的魔方，只要由計(jì)算就可以表現(xiàn)魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)。 反過來
5、，如果知道魔方的狀態(tài)，能否找到復(fù)原的方法？也就是把現(xiàn)在狀態(tài)分解為基本動(dòng)作的復(fù)合，這是個(gè)計(jì)算問題，相當(dāng)于把一個(gè)矩陣分解為某些特定矩陣的積。如果能解決這個(gè)問題并很快給出答案，就完全解決了魔方的復(fù)原問題?！ 〗鉀Q魔方的記錄 利用群論可以給出魔方解法。理論上，解決魔方的步數(shù)可能最多只需要22或23步。實(shí)際上，英國(guó)一位魔方大師利用群論求出的解法最多只要52步。100步以下就是很好的解法。一般人玩，恢復(fù)魔方需要數(shù)百步?！ ?005年2月2日的世界魔方比賽中，ShotaroMakisnmi(日本)奪得冠軍，成績(jī)13.27秒；LeyanLo(美國(guó))和FrankMorris(美國(guó))并列第二名，
6、時(shí)間同為15秒；ChunHeiWong(中國(guó)香港)第四名，18.48秒。
