量子力學導論習題答案ch5.doc

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1、第五章力學量隨時間的變化與對稱性5.1)設(shè)力學量不顯含,為本體系的Hamilton量,證明證.若力學量不顯含,則有,令則,5.2)設(shè)力學量不顯含,證明束縛定態(tài),證:束縛定態(tài)為::。在束縛定態(tài),有。其復共軛為。。5.3)表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)(Bloch波函數(shù)),是的本征態(tài),相應的本征值為證:,證畢。5.4)設(shè)表示的本征態(tài)(本征值為),證明是角動量沿空間方向的分量的本征態(tài)。證:算符相當于將體系繞軸轉(zhuǎn)角,算符相當于將體系繞軸轉(zhuǎn)角,原為的本征態(tài),本征值為,經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動,固定于體系的坐標系(即隨體系一起

2、轉(zhuǎn)動的坐標系)的軸(開始時和實驗室軸重合)已轉(zhuǎn)到實驗室坐標系的方向,即方向,變成了,即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性,不受坐標變換的影響,故仍為。(還有解法二,參錢..《剖析》.P327)5.5)設(shè)Hamilton量。證明下列求和規(guī)則。是的一個分量,是對一切定態(tài)求和,是相應于態(tài)的能量本征值,。證:()又,。不難得出,對于分量,亦有同樣的結(jié)論,證畢。5.6)設(shè)為厄米算符,證明能量表象中求和規(guī)則為(1)證:式(1)左端(2)計算中用到了公式。由于是厄米算符,有下列算符關(guān)系:(3)式(2)取共軛,得到(4)結(jié)合式

3、(2)和(4),得證畢。5.7)證明schr?dinger方程變換在Galileo變換下的不變性,即設(shè)慣性參照系的速度相對于慣性參照系運動(沿軸方向),空間任何一點兩個參照系中的坐標滿足下列關(guān)系:。(1)勢能在兩個參照系中的表示式有下列關(guān)系(2)證明schr?dinger方程在參照系中表為在參照系中表為其中證:由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,和的意義完全相同。,是時刻在點找到粒子的幾率密度;,是時刻在點找到粒子的幾率密度。但是在給定時刻,給定地點發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應與參照系的選擇無關(guān),所以相應的幾率應相等,即(6)從(1)式有(6

4、’)由此可以得出,和兩個波函數(shù)彼此只應差絕對值為1的相因子,所以(7)(7)由(1)式,,,(3)式變?yōu)椋海?)將(7’)代入(8)式,可得(9)選擇適當?shù)?,使得?)(4),。(10)(10’)從(10)可得。(11)是的任意函數(shù),將(11)代入(10’),可得積分,得。為積分常數(shù),但時,系和系重合,應等于,即應等于,故應取,從而得到(12)代入(7’)式,最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律:(13)逆變換為(13’)相當于式(13)中的,帶的量和不帶的量互換。討論:的函數(shù)形式也可用下法求出:因和勢能無關(guān),所以只需要比較平

5、面波(自由粒子)在和系中的表現(xiàn)形式,即可確定.沿方向運動的自由粒子,在伽利略變換下,動量、能量的變換關(guān)系為(14)據(jù)此,系和系中相應的平面波波函數(shù)為,(15)(1)、(14)代入(15),即得此即(13)式,由于這個變換關(guān)系僅取決于和系的相對速度,而與粒子的動量無關(guān),所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。

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