量子力學導論習題答案ch6.doc

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1、第六章中心力場6.1)利用6.1.3節(jié)中式(17)、(18),證明下列關(guān)系式相對動量(1)總動量(2)總軌跡角動量(3)總動能(4)反之,有(5),(6)以上各式中,證:,(17),(18)相對動量(1’)總動量(2’)總軌跡角動量由(17)、(18)可解出,即(5)式;由(1’)(2’)可解出(6)??倓幽埽?’)[從(17),(18)式可解出(5)式;從(1),(2)式可解出(6)式].6.1)同上題,求坐標表象中、和的算術(shù)表示式,解:(1)其中,而,同理,;(利用上題(17)(18)式。);仿此可設(shè)

2、(2)代入(1)中,得(3)(4)只要將(3)、(4)式中的、以相應(yīng)的算符代入即可。6.3)利用氫原子能級公式,討論下列體系的能譜:(a)電子偶素(positronium,指束縛體系)(b)u原子(muonicatom)(c)u子偶素(muonium,指束縛體系)解:由氫原子光譜理論,能級表達式為:,。(a)電子偶素能級,()(b)u原子能級,()(c)u子偶素能級,()6.4)對于氫原子基態(tài),計算。解:*在求坐標系中,空間反演:()。氫原子基態(tài)波函數(shù)為(1)宇稱為偶。由于均為奇宇稱算符,所以(2)由于各

3、向同性,呈球?qū)ΨQ分布,顯然有(3)容易算出(4)(5)因此,(6),(7)(8)測不準關(guān)系的普遍結(jié)論是(9)顯然式(8)和(9)式是不矛盾的。而且很接近式(9)規(guī)定的下限。6.5)對于氫原子基態(tài),求電子處于經(jīng)典禁區(qū)(即)的幾率。解:氫原子基態(tài)波函數(shù)為,,相應(yīng)的能量動能是經(jīng)典不允許區(qū)。由上式解出為。因此,電子處于經(jīng)典不允許區(qū)的幾率為(令)6.6)對于類氫原子(核電荷)的“圓軌跡”(指的軌跡),計算(a)最可幾半徑;(b)平均半徑;(c)漲落解:類氫原子中電子波函數(shù)可以表示為(1)(a)最可幾半徑由徑向幾率分

4、布的極值條件(2)決定。時,。代入(2)式,容易求得(4)這結(jié)果和玻爾量子論中圓軌跡的半徑公式一致。(b)在態(tài)下,各之間有遞推關(guān)系(Kramers公式)(5)(參錢伯初、曾謹言《量子力學習題精選與剖析》P197)在(5)式中令,注意到。可設(shè)(6)依次再取,得到(7)(c)(8)因此,的漲落(9)(10)可見,越大,越小,量子力學的結(jié)果和玻爾量子軌跡的圖像越加接近。6.7)設(shè)電荷為的原子核突然發(fā)生衰變,核電荷變成,求衰變前原子中一個電子(軌跡上的電子)在衰變后仍然保持在新的原子的軌跡的幾率。解:由于原子核的

5、衰變是突然發(fā)生的??梢哉J為核外的電子狀態(tài)還來不及變化。對于原來的電子,其波函數(shù)仍未(1)而新原子中電子的波函數(shù)應(yīng)為(2)將按新原子的能量本征態(tài)作線形展開:(3)則衰變前的電子在衰變后處于新原子的態(tài)的幾率為(4)因此,本題所求的幾率為(5)展開時保留到第三項當,上式可近似取成(5’)例如,,;,。6.8)設(shè)堿金屬原子中的價電子所受電子實(原子核+滿殼電子)的作用近似表為()(1)為Bohr半徑,求價電子的能級。提示:令,解出解:取守恒量完全集為,其共同本征函數(shù)為(2)滿足徑向方程(3)令(4)式(3)就可以

6、化為(3’)相當于氫原子徑向方程中換成。所以式(3’)的求解過程完全類似于氫原子問題。后者能級為,,(5)將換成,即得價電子的能級:,(6)通常令(7)(8)稱為量子數(shù)和的“修正數(shù)”。由于,可以對式(4)作如下近似處理:略去,即得(9)由于,,因此,本題所得能級和氫原子能級僅有較小的差別,但是能級的“簡并”已經(jīng)消除。式(6)和堿金屬光譜的實驗資料大體一致,尤其是,修正數(shù)隨之升高而減小,這一點和實驗符合的極好。式(4)的精確解為(10)若對上式作二項式展開,保留項,略去以上各項,即可得到式(9)。6.9)在

7、二維諧振子勢中的粒子,求解其能量本正值。對于二維各向同性()的諧振子,求能級的簡并度。(參書卷ⅠP302-303)解:

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