添加輔助圓助解幾何題.pdf

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1、江西省會昌縣第二中學(xué)(342600)王德平江西省會昌縣珠蘭示范學(xué)校(342606)王晉芳解幾何題，有時需要添加輔助線．很多看且BE一2AB一10．似與圓無關(guān)的問題，可以通過添加輔助圓得到故BD=~／—BE2-—DE2一√1oz一)z解決．下面舉例說明．=9．例如圖1，AB—AC—AD，若如圖3，／DAC=kCAB，則DBC是BDC的AABC中，A的外角倍．平分線交BC的延長線于分析從條件AB===AC—AD容易聯(lián)想D．到圓，可作以A為圓心、AB為半徑的圓進行帶{一AB圖3讓D——C—A———C’探索．

2、證明如圖3，作△ACD的外接圓交BA的延長線于F．連結(jié)FD，則DC=DF．。．’ACB===DFB，B一B，‘．．△ABCoo△DBF．．ABAC．BDAB—BDDF’一DCAC‘(編者問：本題是如何想到要添加△ACD的外接圓的?)如圖4，在2如圖2，已△ABC中，C一2B，求知四邊形ABCD中，AB證：AB<2AC．／／CD．AB—AC=AD一8分析從已知到結(jié)論，是由角的關(guān)系推證比5，BC=丙，求BD．、、＼，／、～一，，，、、較線段關(guān)系，容易聯(lián)想到圖4分析從條件AB圓周角與弦的關(guān)系，因此，—AC=

3、AD容易聯(lián)想到圖2可作z~ABC的外接圓．由Zc一2B，再作網(wǎng)，可作以A為圓心、AB為半徑的圓進行探C的平分線，交圓于D，則BD=AD=AC．1索．證明如圖4，作△ABC的外接圓，再作解析如圖2，以A為圓心、AB為半徑畫C的平分線CD，交圓于D，連BD，AD．圓，則B，C，D三點在oA上．延長BA交oA由作圖可知，z~ABC===／BCD—ZACD，唯于E，連結(jié)DE．‘由DC／／AB，得一，．．BD—AD—AC．在△ABD中，由三邊關(guān)系得AB

4、直徑，則EDB一90。，‘．．AB<2AC網(wǎng)址：ZXSS．cbpt．enki．net●11o電子郵箱：zxss@chinajourna1．net．cn5如圖5，已結(jié)合題意，易證G一／1一／2一H，BG—HC—CD．知直角三角形ABC中，A一90。，過斜邊中點DB又3一4，‘作MD上BC，且MD一．．△BGE△CDF，‘．．BE—CF．÷BC．求證：AM平分注同理，也可構(gòu)造／XBED△CFH證BAC圖5得結(jié)論．分析BAC被AM平分的兩個角分布7若引自三角形一頂點的高、角平在不同的兩個三角形中，一般是證它

5、們所在的分線、中線四等分這頂角，則此三角形為直角兩個三角形全等，但兩角所在的兩個三角形不三角形．全等．同時，又聯(lián)想到角平分線性質(zhì)定理的逆已知：如圖7，△ABC的高AH，A的平定理，也行不通．考慮到△ABC是直角三角分線AD，BC邊上的中線AM，且BAH=形，易聯(lián)想到圓周角定理的推論，可作△ABCHAD一DAM一MAC．的外接圓，因此可溝通解題途徑．求證：BAC一9O。．證明如圖5，因A一90。，我們作分析考慮到要證的三角形是直角三角△ABC的外接圓，由題意可知BC是圓的直形，易聯(lián)想到圓周角定理的推論，

6、可作△ABC徑，點D是圓心．的外接圓，因此可溝通解題途徑．·‘MD=1BC．，證明如圖7，作△ABc的外接圓．延長AD交圓△ABC的外接圓于N，連MN，BN，CN．。．．MD是圓D的半徑．‘．‘上，AD一DlAC，。．。MD上BC，點D是BC中點，‘．．N為BC的中點．‘．．MB—MC．。．．BN=CN。．．ZMAB=ZMAC．即AM平分BAC．．BN—CN．。．仞J6如圖6，在．。M為BC的中點，△ABC中，E，F(xiàn)分別是。．．MNlBC．～AB，AC上的點，且。．。AHlBC。FBC一ECB—圖7：

7、．AHf7MN．‘LA．求證：BE=CF．．．ANM一／HAD一NAM?！甅A=：=MN．分析BE和CF圖6‘．’MN和MA不重合，而MN所在的分布在不同的兩個三角形中，一般是證它們所．直線必過圓心，在的兩個三角形全等，但BE，CF所在的兩個。i三角形不全等．．M必為圓心．．考慮到角與邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)。．．BC必為直徑，換，我們可以試作△ABc的外接圓加以探索．．．BAC=90。．罐證明如圖6，作△ABC的外接圓．延長小結(jié)上面幾個例子，題面都不涉及圓，cE，BF分別交圓于G，H，連BG，cH．我們通

8、過對條件和結(jié)論的分析，聯(lián)想到圓，通因,／_FBC—ZECB專A，過添加輔助圓，一個個看似復(fù)雜的問題被我們輕松解決．故Hc—BG一專Bc，(下轉(zhuǎn)第13頁)即+Fc一．網(wǎng)址：ZXSS．cbpt．cnki．net●12●電子郵箱：zxss@chinajourna1．net．cn