解題思考策略（一） 構造法 建國中學 李瑞.doc

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1、解題思考策略（_）構造法!國中學李瑞數(shù)學競賽的問題一般都不冋於日常課程中的問題，它們都需要更多方面的的思考方式及方向。我們大約可以整理出幾個常用的想法，他們包括構造法、極端原則、簡化原則、從反面思考、分類討論、考慮不變量等。先討論構造法。要順利的運用構造法，基本的要求是對問題有充分的了解。也可以這麼說：我們需在問題的條件與所求的目標之間構造有力的輔助條件，這條件包括圖形的思考、輔助方程式、構造函數(shù)及構造實例或反例等。對問題要有透徹的剖析，偶而也要有一種且戰(zhàn)且走的思考。在真正動手解題時也已經(jīng)充分掌握了解題的重要關鍵，是在心中早已有了解

2、題的途徑與解題細節(jié)，因此，呈現(xiàn)出的解題過程只是對了然於胸的解題想法的表述而已。下面給出幾個常見的形式，說明某些用構造法解題的基本精神。1?"有什麼幾何解釋？2.對於三吧二除了用課內的疊和之外，有什麼更好的解釋？3.對於后+7有哪些不同的幾何上的意義？4.對於A-2++y2有什麼幾何上的解釋？5.對於ax+by有什麼幾何上的解釋？當然還有許多式子所代表的條件，如果我們洞穿這些條件的具體意義，很有可能解出表面上看起來解不出來的問題，也可能大大縮短解題的程序。有時所謂具體，是一種相對的槪念,題目中所給的條件不見得一定有可用的具體意義，但透

3、過不同的解釋可以將條件變得比較接近我們以往的認知，因而有所突破，想出解題的方法。例一對於任何正實數(shù)a,b,c，不等式牯一ab+/異+屈—be+c1X腫+ca+/恆成立。當且僅當;=丄+丄時，等式成立。bac分析：如果用一般直覺式的思考,遇到根號的問題直接想得到的就是平方。當然一定要走這條途徑還是有可能得到結果的。但可以想像他的計算量是非?？膳碌?。換一種方式思考，將a2-ab+b2看成於_2"cos60。+戻就成了圧了，那麼，舶一亦護就是以血爲兩邊且其夾角60。的對邊x了！同樣的方法，我們可以構造出）/。解：令在平面上共端點口及加夾6

4、（）。，°,c夾120。。其不共點的另一端可以形成一個三角形5邊長x=y/a2-ab+lr,y=yjb2-&c+c2,z=y/c2+ca+a2，三角形兩邊之和不小於第三邊。就基本地證明了不等式。至於等式成立的條件如右圖，B,D,C共線。ABD+ACD=ABC，—absin60°+—/?csin60°=—cczsin120°、ab+be=ca222所以亠二bac例二a+b+c=a?+X+c?=2，證明：a(l-a)2=b(l-b)2=c(l-c)2證：構造函數(shù).f(x)=兀(1一兀)2'由(x-tz)(x-/?)(x-c)=x3

5、-(a+b+c)x2+(ab+be+ca)x-abc=x3-lx1+x-abc=f(x)-abc5f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)+abc°從而/(^)=f(b)=f(c)=abc。即a(l-a)2=b(-b)2=c(-c)2召主：ab+be+ca=—((a+/?+c)~——方~—c?)=12例三對任意三角形，能覆蓋這個三角形的最小圓是否是三角形的外接圓？解：用圖形構造反例：這三個例題分別代表不冋的構造思路，以下我們分別討論幾種常用的構造的想法'構造圖形解題這種構造法根據(jù)題冃的圖形意義或幾何的連結，需要有相當好的洞察力。

6、例四a>c,b>c,c>0，證明：Jc(a-c)+Jc(b-c)

7、<

8、解：將不等式的左邊配方,這個結果實際上表示點（兀,0）分別到g￥）及（-*,￥）的距離差，當然大於6孕及目爭的距離I。解：J（4-疔+『表示由（仇0）至!

9、（4,3）的距離；屁-卵+用表示

10、由（①。）到⑺衛(wèi)）的距離；+表示由⑺衛(wèi)）到（4,3）的距離，所以，題中要求的是三個線段的長度和。幾個點中@,0）在X軸上；（心）在直線y=x±。分別作點（4,3）關於X軸與直線y=x的對稱點,（4,一3）及（3,4），則這兩點間的距離儷即爲所求的最小値（如右圖）。練習若0

11、』cT+方“++(4—b)~+Jb"+(3_a)_+J(3_a)~+(4—方)?之最小値爲?解：如右圖'矩形4BCD中43=4，2=3。任作兩條垂直於邊的線段HF及EG交於P點。設AH=a，AE=b，則題中所求的函敎爲PA+PB+PC+

12、PD，其最小値爲矩形兩對角線的和10。練習正數(shù)圮y,込滿足方程組2x1+xy+—=25?3—=93才+zx^x2=165求小+2）n+3zx的値7解:將宀小「25看作宀（詡j立如5。"。在右圖中可以解釋爲三角形PBC裡一個餘弦定理的呈