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1、§3用坐標(biāo)法研究仿射變換3.1仿射變換的變換公式3.2變換矩陣的性質(zhì)3.3仿射變換的不動點和特征向量3.4保距變換的變換公式定理平面的仿射點變換f在一個仿射坐標(biāo)系中的公式為(4.3)其中系數(shù)矩陣A=(aij)是可逆矩陣.反之,如果平面的一個點變換f在一個仿射坐標(biāo)系中的公式為(4.3),且其系數(shù)矩陣A=(aij)是可逆矩陣,則f是仿射(點)變換.3.1仿射變換的變換公式證明:設(shè)f是仿射點變換,I:[O;e1,e2]是平面仿射坐標(biāo)系,平面上任一點P在I中的坐標(biāo)為(x,y),P在f下的像f(P)在I中的坐標(biāo)為(x?,y?).記II:[f(O);f(e1),f(e2)],根
2、據(jù)仿射變換基本定理,它是仿射坐標(biāo)系,且任一點Q在f下的像f(Q)在II中的坐標(biāo)等于Q在I中的坐標(biāo)(x,y).設(shè)f(e1),f(e2),f(O)在I中的坐標(biāo)分別為(a11,a21),(a12,a22),(b1,b2),于是f(P)在II中的坐標(biāo)為(x,y).3.1仿射變換的變換公式則I到II的坐標(biāo)變換公式為從而f(P)的I坐標(biāo)(x?,y?)和II坐標(biāo)(x,y)應(yīng)滿足而上式右端的(x,y)又可以理解為P的I坐標(biāo),故上式,即(4.3)式就是平面的一個仿射點變換f在一個仿射坐標(biāo)系中的公式,其系數(shù)矩陣A=(aij)是I到II的過渡矩陣,是可逆矩陣.3.1仿射變換的變換公式反之
3、,如果平面的一個點變換f在一個仿射坐標(biāo)系中的公式為(4.3),且其系數(shù)矩陣A=(aij)是可逆矩陣,則f顯然是可逆變換,其逆變換f?1可由下式給出此外,設(shè)三點A,B,C共線,且在I中的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根據(jù)P22.例1.7,則有3.1仿射變換的變換公式由假設(shè),像點f(A),f(B),f(C)在I中的坐標(biāo)分別為(a11x1+a12y1+b1,a21x1+a22y1+b2),(a11x2+a12y2+b1,a21x2+a22y2+b2),(a11x3+a12y3+b1,a21x3+a22y3+b2),因為行列式?1?13.1仿射變
4、換的變換公式=0.根據(jù)P22.例1.7可知,f(A),f(B),f(C)共線.綜上可知,f是仿射(點)變換.3.1仿射變換的變換公式注:1.若平面的仿射點變換f在一個仿射坐標(biāo)系中的公式為其中系數(shù)矩陣A=(aij)是可逆矩陣,則其決定的向量變換在該仿射坐標(biāo)系中的公式為A稱為變換矩陣.(4.3)(4.4)3.1仿射變換的變換公式2.仿射變換f在仿射坐標(biāo)系I中的變換矩陣就是I到f(I)的過渡矩陣,因此它的兩個列向量分別為I的坐標(biāo)向量e1,e2的像f(e1),f(e2)在I中的坐標(biāo).3.仿射變換的變換公式和坐標(biāo)變換公式在形式上完全相同,但意義完全不同！?仿射變換的變換公式中
5、,(x,y),(x?,y?)是不同的兩個點A及其像點f(A)(或不同的兩個向量u與f(u))在同一個坐標(biāo)系中的坐標(biāo);?而在坐標(biāo)變換公式中,(x,y),(x?,y?)是同一個點(或向量)在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo).3.1仿射變換的變換公式4.對仿射向量變換公式的理解:(1)若知道向量或它的像向量中任一個坐標(biāo),可由公式求出另一個坐標(biāo).(2)若能求出任意向量及其像向量之間的關(guān)系表達(dá)式,則其矩陣表達(dá)式中的矩陣即為f的變換矩陣.5.給定仿射變換f在仿射坐標(biāo)系I中的變換公式,若已知某圖形?或它的像f(?)的方程,可利用變換公式求出?的像f(?)或?的方程.3.1仿射變換的變換公式例1
6、已知在仿射坐標(biāo)系I中,仿射變換f的點變換公式為直線l的方程為3x+y?1=0,求f(l)的方程.解:方法1.根據(jù)題設(shè)變換公式反解得代入l的方程得3(?2x?+3y??16)+(?3x?+4y??23)?1=0.整理得9x??13y?+72=0.于是f(l)的方程為9x?13y+72=0.3.1仿射變換的變換公式方法2.(待定系數(shù)法)設(shè)f(l)的方程為Ax+By+C=0,將題設(shè)變換公式代入得到l的方程為A(4x?3y?5)+B(3x?2y+2)+C=0,它與3x+y?1=0都是l的方程,于是從左式得A:B=9:?13,右式得A:C=1:8.取A=9,B=?13,C=7
7、2,得f(l)的方程為9x?13y+72=0.3.1仿射變換的變換公式方法3.取l上一點P1(0,1)和l的方向向量u(1,?3),根據(jù)題設(shè)變換公式得f(P1)的坐標(biāo)為(?8,0),根據(jù)題設(shè),向量變換公式為得f(u)的坐標(biāo)為(13,9),于是f(l)的方程為即9x?13y+72=0.3.1仿射變換的變換公式例2在仿射坐標(biāo)系I中,仿射變換f把直線x+y?1=0變?yōu)?x+y?2=0,把直線x+2y=0變?yōu)閤+y+z=0,把點(1,1)變?yōu)?2,3),求f在I中的變換公式.解:方法1.(待定系數(shù)法)假設(shè)所求變換公式為因為f把直線x+y?1=0變?yōu)?x+y?2=0,即直
