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1、仿射變換1.透視仿射對應定義對于空間中兩平面?,?',給定一個與兩平面不平行的投射方向,則確定了?到?'的一個透視仿射對應(平行投影).?上任一點P在?'上的像即為過P且平行于投射方向的直線與?'的交點P'.注1.透視仿射對應的基本性質(1)使共線點變?yōu)楣簿€點的雙射,且對應點連線相互平行；(2)平行直線變?yōu)槠叫兄本€；(3)保持共線三點的簡單比,從而保持兩平行線段的比值不變.注2.?,?'的交線稱為透視仿射的軸.若?//?'則沒有軸.仿射變換2.仿射變換定義對于空間中一組平面?,?1,?2,…,?n,?',設以下對應均為透視仿射對應：則稱這n
2、個透視仿射的積?為?到?'的一個仿射對應.若?'??,則稱?為平面?上的一個仿射變換.注.仿射變換的基本性質(1)使共線點變?yōu)楣簿€點的雙射；(2)平行直線變?yōu)槠叫兄本€；(3)保持共線三點的簡單比,從而保持兩平行線段的比值不變.仿射變換定義設?為平面?上的一個點變換,滿足(1)?為一個使共線點變?yōu)楣簿€點的雙射；(2)?使得共線三點的簡單比等于其對應共線三點的簡單比；(3)?使得相互平行的直線變?yōu)橄嗷テ叫械闹本€,則稱?為?上的一個仿射變換.定理仿射變換是雙射.設A表示平面上全體仿射變換的集合.則有(1)??,??A,有???A.(2)恒同變換i
3、?A.(3)???S,存在??1?A,滿足???1???1??i.上述性質使得A對于變換的乘法構成一個群,叫做仿射變換群.而且M?S?A.仿射變換3.仿射坐標系定義設在平面上取定一點O和以O為起點的兩個線性無關向量ex,ey,則由此構成平面上一個仿射坐標系(或仿射坐標架),記作O-exey.平面上任一點P的仿射坐標(x,y)由下式唯一確定,反之,對任意給定的有序實數(shù)偶(x,y),由(1.12)式可唯一確定仿射平面上的一個點具有坐標(x,y).建立了仿射坐標系的平面稱為仿射平面,ex,ey稱為基向量.注若ex,ey為單位正交向量,則O-exe
4、y成為笛卡兒直角坐標系.仿射變換定理設在平面?上取定了一個仿射坐標系O-exey,點變換?為?上的一個仿射變換??有表達式其中(x,y)與(x',y')為任一對對應點P,P'的坐標,矩陣滿足
5、A
6、?0,稱為仿射變換?的矩陣.平面仿射幾何就是研究在仿射變換群A的作用下保持不變的幾何性質與幾何量.由定義,這些不變的性質和數(shù)量必定只與平行性、共線三點的簡單比有關.定理平面?上的仿射變換?將一個仿射坐標系O-exey變?yōu)榱硪粋€仿射坐標系O'-e'xe'y.仿射變換一、正交變換定義保持平面上任意兩點間的距離不變的點變換稱為平面上的一個正交變換.定理正
7、交變換是雙射.設M表示平面上全體正交變換的集合.則有(1)??,??M,有???M.(2)恒同變換i?M.(3)???M,存在??1?M,滿足???1=??1?=i.注：設?為平面上的一個正交變換,A,B為平面上兩個點,且?(A)=A',?(B)=B',則
8、AB
9、=
10、A'B'
11、.上述性質使得M對于變換的乘法構成一個群,叫做正交變換群.幾種特殊的仿射變換定理正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.證明設A,B,C為平面上三點,?為正交變換,且上述三點在?下的像依次為A',B',C'.若A,B,
12、C共線且B在A,C之間,則有
13、AB
14、+
15、BC
16、=
17、AC
18、.由正交變換的定義有即A',B',C'仍然為共線三點且B'在A',C'之間.若A,B,C不共線,則必有即A',B',C'仍然為不共線三點.幾種特殊的仿射變換定理正交變換使平面上共線三點變成共線三點;不共線三點變成不共線三點,而且保持兩直線的夾角不變.證明設A,B,C為平面上三點,?為正交變換,且上述三點在?下的像依次為A',B',C'.設A,C分別在?B兩邊上且異于B,則A',B'分別在?B'的兩邊上.且
19、AB
20、=
21、A'B'
22、,
23、BC
24、=
25、B'C'
26、,
27、AC
28、=
29、A'C'
30、.即?ABC
31、??A'B'C',于是,?B=?B',即正交變換保持兩直線的夾角不變.推論(1)正交變換使得一個三角形變?yōu)榕c其全等的三角形.進而,正交變換使得任何封閉圖形變?yōu)榕c其全等的封閉圖形,使得任何平面圖形變?yōu)榭梢耘c其疊合(合同)的圖形.(2)正交變換使得平行直線變?yōu)槠叫兄本€,矩形變?yōu)榕c之全等的矩形.幾種特殊的仿射變換推論正交變換使平面上的直角坐標系變?yōu)橹苯亲鴺讼?正交變換?將平面上的一個直角坐標系O-exey變?yōu)榱硪粋€直角坐標系O'-e'xe'y,有下述可能右手系→右手系右手系→左手系幾種特殊的仿射變換定理對于平面上的一個取定的直角坐標系,點變換?是
32、正交變換??具有表達式其中(x,y)與(x',y')為?的任一對對應點P,P'的坐標,矩陣注：對于正交變換?的矩陣A,顯然有A?1=AT,且
33、A
34、=?1.當
35、A
36、=1時,?將右手
