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1、平面向量的數(shù)乘運算知識點一：向量數(shù)乘運算：⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作．①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．⑵運算律：①；②；③．⑶坐標運算：設，則．知識點二：向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使．設，，其中，則當且僅當時，向量、共線．知識點三：平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內所有向量的一組基底）知識點四：分點坐標公式：設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，點的坐標是．（當知識點五：平面向量的數(shù)量積：⑴．零
2、向量與任一向量的數(shù)量積為．⑵性質：設和都是非零向量，則①．②當與同向時，；當與反向時，；或．③．⑶運算律：①；②；③．6⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．若，則，或．設，，則．設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．數(shù)學平面向量數(shù)量積的坐標表示同步達綱【同步達綱練習】一、選擇題.1.下列各向量中，與=(3,2)垂直的向量是()A.=(3,-2)B.=(2,3)C.=(-4,6)D.=(-3,2)2.若=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為()A.B.C.D.3.已知向量=(3,-2),=(m+1,1-m)，若⊥，則m的值為()A.B.-C.-1D.14.已知向量｜｜=5,且=(
3、3,x-1),x∈N,與向量垂直的單位向量是()A.(，-)B.(-，)C.(-，)或(，-)D.(，-)或(-，)5.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，則()A.⊥B.∥C.(+)⊥(-)D.(+)∥(-)6.已知=(1,),=(+1,-1),則與的夾角為()6A.B.C.D.7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)為頂點的三角形的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知=(-2,-1),=(λ,1).若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是()A.(-，+∞)B.(2，+∞)C.(-，+∞)D.(-∞,-)9.
4、已知=(x1,y1),=(x2,y2)，則在下列各結論中為·=0的充要條件的是()①=或=或⊥②⊥③x1y1+x2y2=0④x1x2+y1y2=0A.①③B.②③C.③④D.①④10.已知與的夾角的余弦為-，則，的坐標可以為()A.(4，3)，(-12，5)B.(3，4)，(5，12)C.(-3，4)，(5，-12)D.(-3，4)，(-5，12)二、填空題1.已知=(4,3),=(-1,2)，則與的夾角為.2.已知=(3,-5),=(-4,-2),則·=.3.順次連接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四邊形是.4.以原點和點A(5，2)為頂點作等腰直角三角
5、形OAB，∠B=90°，則向量為.5.已知向量=(1,2),=(x,1),分別求出當+2與2-平行和垂直時實數(shù)x的值.6.已知=(2,1),=(-1,-1),=+k,=+,與的夾角是，則實數(shù)k的值.三、解答題1.已知=(1,-2),=(4,3)求(1)2(2)2(3)·(4)(3+2)·(-3)(5)與的夾角(6)在上的投影62.已知：點A(0，3)，B(6，3)，AD⊥OB，垂足為D，求點D的坐標.3.已知A(-2，3)，正方形OABC，求點C、點B的坐標.【素質優(yōu)化訓練】1.已知=(-1,0),=(1,1),=λ+μ(λ、μ∈R)，若⊥，且｜｜=2,試求λ、μ的值及向量c的坐標.2
6、.若=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)，用｜k+｜=｜-k｜(k∈R，k≠0),試用k表示·.3.已知=(-3,-2),=(-4,k),若(5-)·(-3)=-55,求實數(shù)k的值.4.求與向量=(,-1)和=(1,)的夾角相等，且模為的向量的坐標.5.已知矩形ABCD的相對頂點A(0，-1)，C(2，5)，且頂點B到兩坐標軸的距離相等，求頂點D的坐標.【生活實際運用】6如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量法證明(1)PA=EF(2)PA⊥EF證明：建立如圖所示坐標系，設正方形邊長為1，｜｜=λ,則A(0，1)，P(λ，λ)，E(1
7、，λ)，F(xiàn)(λ，0)∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ)(1)｜｜2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1｜｜2=(λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF(2)·=(-λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0∴⊥∴PA⊥EF.【知識探究學習】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x軸的正半軸上求點C，使∠ACB最大，并求出最大值.解，設C(x,0)(x＞0)則=(-x,a),=(-x,b)則·=x2+
