一道解對數(shù)不等式題引起的思考.doc

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1、一道解對數(shù)不等式題引起的思考福建省廈門外國語學(xué)校薛梅風(fēng)例題：解不等式logx(x?+x+3)>log2(x+1)(*)+兀+3>0解：原不等式可化為：兀+1>0X3+兀+3>(X4-1)3—［兀+1>0即等價(jià)于Q.3兀2+2兀一2<0-—I即-1-77-I+V7,解得:0的運(yùn)算，實(shí)際上，x3+x+3>0是不容易求解的。下面如果我們將該題改為:log8（x3+x+3）

2、2（x+l）（**）,那么依照上x3+x+3>0述解法可以得到：原不等式可化為：｛兀+1〉0+x+35（X+1）'■尢*+V4-3>0即等價(jià)于7，這時(shí)我們對x3+x+3>0束手無策，也就不能得+2x-2>0■到最后的結(jié)果?，F(xiàn)在我們思考這樣一個(gè)問題：在不等式（水）得到求解厲，對于不等式（桿）能不能利用其補(bǔ)集進(jìn)行求解呢？當(dāng)然可以，所以我們很容易得到不等式（**）的解集是：u1QI或淪呼人此時(shí)’我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)"原不等式?jīng)]有意義，可見，｛X丨1或x>-l+-^-｝不是原不等式的解集，那么3究競錯(cuò)在哪里呢？仔細(xì)想想，發(fā)現(xiàn)我們當(dāng)在求不等式（*）的解集的補(bǔ)集吋，必須在全集的范囤

3、內(nèi)進(jìn)行，而我們卻將全集默認(rèn)為全體實(shí)數(shù)集，這是錯(cuò)謀的。事實(shí)上，+兀+3>0全集【應(yīng)該是由不等式組求解得到的，但是這里我們乂遇到一元x+1>0三次不等式疋+兀+3>0的運(yùn)算問題3rh+x+3〉0口J得：>~x—3,令）［=兀‘，y->=—兀一3,在同…個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象（如圖所示），設(shè)兩個(gè)圖彖的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為兀°，易知：-2x（）時(shí)，）［>y2,從而x3+x+3>0的解為：x>x0（-20得：%>-1,所以，全集1=｛XI小叮｝.從上面的分析來看，我們通過求交集法,同樣可以優(yōu)化解x

4、>-1｝。因此不等式（**）的解集是：題過程，避免了一元三次不籌式疋+兀+3〉0的直接求解，使問題得到迎刃而解。優(yōu)化數(shù)學(xué)問題的解題過程是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法，在《高考數(shù)學(xué)科考試說明》關(guān)于運(yùn)算能力的要求中指出：“尋求與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑……”。這里指出了運(yùn)算的優(yōu)化問題，因此，我們在教學(xué)中應(yīng)該給予足夠的重視。