單種群生長地廣義Logistic模型.pdf

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1、生物數(shù)學(xué)學(xué)報..o,;:azjBih,5(z)(1夕夕。)22一25o單種群生長的廣義Lsitic模型不~日‘.喜/、J尹抓lj八(中山大學(xué)數(shù)學(xué)系)AGENERALIZEDLOGISTICMODELOFSINGLEPOPULATIONSGROWTHWangshousongoa:,znontoatemates,。,,g:anUn:e:st夕(DP少M人iZ人乃i藝)ABSTRACT,IflthisPaPerageneralizedlogistiemodeloftheformasx:K一瑟x(勸:,,:一I,x未>

2、0K>口)>口()d才K十護x.,areestablishedTheresultsindieateProvethatthegrowthofpoPulationsesesereoe來,5se,oeveravewhihidibdbymdl()1till5tyPhwitwillhextensiveaPplieabjli.tyo‘’,2’描述單種群生長的一般Lgistic模型為門,一口X一t一,一Tx(I之)x)0(1)入」:,.ea,知}>o為種群的內(nèi)察生長率K>0為環(huán)境容納量它通常被稱為verhuls卜Prl模型,

3、、,,:二二!,、。*。/,:,、。K‘三其基本特征是描述了種群的S型生長(如圖I)曰個尸石干目習(xí)惻另口!且xo火一萬丁日,J,種群動態(tài)曲‘一一K2時會出現(xiàn)一個拐線x(t)在增民到羊一‘“,,占、、、.崔啟武等從化學(xué)動力學(xué)的吸附理出發(fā)提出推廣摸型‘汀x一,一,二了先(‘)/()一Jt渝分匕(2)李歹,其中。<、其描述的種群生長仍是s型奮0〔衣)t的,但種群動態(tài)曲線、t()的拐點將出現(xiàn)在l圖中山大學(xué)科研基金資助項口捷,朋年12月28日收到.22王壽松S卷._._:_,,_,_,、。。__.,_,、。二。。、1dx

4、子*~。、__卜_K//二如、~一_幾“‘’J一們別生灰舉不廠刁種講數(shù)重x刁大爾小冉足線任天系了丁”丁刀明(如圖3).與種群數(shù)量/及其增長速度均有如下線性關(guān)系本文考慮種群相對生長率專棄貴二,-KFdtdx3些藝x-一()d了因而得到本文要討論的廣義Logist瓦模型dx仃(K一x)::(了)一dtK+夕x,,一·,顯然當(dāng),時(、)即為模型(,)當(dāng)即,、<。時(,這里我們還=0)為模型(z)一聲..將包括,>0情形(在文〔子〕中提到FESmit人(1夕63)在細(xì)菌培養(yǎng)實驗中討論過類似的模.,,,型)我們可以

5、證明當(dāng)>一1時模型(勸所描述的種群增長都仍是S型的但由于模型(勸,一1,比模型(勸多引進一個參數(shù)>其所描述的種群動態(tài)(特別是動態(tài)曲線出現(xiàn)拐點的位置.,與時刻)可以通過改變的數(shù)值而得到更廣泛多樣的反映出來因此我們稱方程(勸為廣義Lste。的ogii模型首先,容易求出方程(勸有隱函數(shù)形式的解一x。一)“+1=。了ttoX一K戶了了、()r、更、亡口、2、產(chǎn)、.一O6x一K由二階導(dǎo)數(shù)Z2一x,,.、,二。,.dx以(K)K11-一“tZZ石廠廠下一萬污一叱、x十)八、十一飛)〕d、I、萬X少—夕—F公‘個求得拐點值,

6、士側(cè),一X口悶皿(斥l)(了),,,,.其中>一I(寺。)說明拐點還與有關(guān)下面分兩種情形討論模型(勸的解曲線x=x(t)的圖象。1“當(dāng):>0時1,則利用洛必達(dá)法則求得,、K三,,宜亙lf白“‘u叼丁xe二K“L)-+1,.0當(dāng)公*十co時/,,·因此模型(,)的解曲線(,,在(“)之間總有一個拐點出現(xiàn)巳當(dāng)增大時這個拐一嚕x.,點出現(xiàn)的值就越來越小所以模型(勸與(1)的解曲線圖象是基本相同的(見圖1)所有滿x.,足初值。

7、只不過S型曲線的拐點位置提前出現(xiàn)了(即拐點出現(xiàn)在種群成員數(shù)達(dá)到,,.其最大容納量K的一半之前)或者說種群增長更快達(dá)到最f井吠態(tài)(參閱圖子)l期單種群生長的廣義Logistic模型。一護,2當(dāng)I<<0時顯然出現(xiàn)兩個不同情形的拐點值丁/,二-二一K一e一=氣訓(xùn)1+,一I,)—夕岔()/,,x:一二一K{eZ二一IV1?；鸨笫佟?一,,,‘為了更清楚地確定它們的位置再返回模型(z)中的記號即令K二二此時K>K護且(8)中的兩個拐點值為,二一刃丁滅氣Ic,側(cè)元滅萬)(夕){尤。2二’萬.K+了賈稱不了j‘。,,:.

8、。,容易驗證<這說明所有滿足初逍二<劣。的解曲線x=x:)均車K,(之x=x。,,在處出現(xiàn)一個拐點與模型(l)比較其拐點推后出現(xiàn),(在種群成員數(shù)達(dá)到其最大容納量K的一半之后才出現(xiàn)拐點)或者說模型(了)描述的種群增長比模型〔1)較遲達(dá)到最佳狀,x。產(chǎn)x=x態(tài)(參閱圖子而對于滿足初值>K的解曲線:-)(O將隨友卜時間t增大而不斷遞增,且對于二。