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《中小學(xué)生課堂故事博覽-無(wú)限的交響樂(lè)—極限的故事》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、無(wú)限的交響樂(lè)──極限的故事“無(wú)限”的誕生無(wú)限的思想誕生于何時(shí)何地,如今已難確切查考了。然而古希臘學(xué)者歐幾里得(Euclid,公元前330~前275)的名著——《幾何原本》第九卷中對(duì)質(zhì)數(shù)無(wú)限性的認(rèn)識(shí)十分精彩。文中全部用幾何的方式,表述了一個(gè)純粹數(shù)的問(wèn)題!其中“測(cè)量”一詞,即算術(shù)中的“除盡”?!百|(zhì)數(shù)比任何給定的一批質(zhì)數(shù)都多?!薄凹僭O(shè)A,B,C是指定的質(zhì)數(shù);我說(shuō)除了A,B,C之外還有其他的質(zhì)數(shù)。事實(shí)上,取A,B,C所能測(cè)量的最小數(shù),設(shè)它為DE;把單位DF加到DE上。于是EF或者是質(zhì)數(shù)或者不是。首先,假設(shè)EF是質(zhì)數(shù),那么我們已得到了質(zhì)數(shù)A,B,C
2、,EF,它比質(zhì)數(shù)A,B,C要多。其次假設(shè)EF不是質(zhì)數(shù),從而它必能被某個(gè)質(zhì)數(shù)所測(cè)量。假設(shè)它能被質(zhì)數(shù)G測(cè)量。我說(shuō)G和數(shù)A,B,C,都不相同。因?yàn)椋绻赡艿脑?,假定G和A,B,C中的某個(gè)數(shù)相同。那么由于A,B,C能測(cè)量DE,所以G也能測(cè)量DE。但G還能測(cè)量EF。所以G作為一個(gè)數(shù),它就能測(cè)量余數(shù),也就是單位DF;而這是荒謬的!所以,G與A,B,C當(dāng)中的任何一個(gè)數(shù)都不相同。并且按照假設(shè),G是質(zhì)數(shù)。所以我們就找到了質(zhì)數(shù)A,B,C,G,它比給定的一批質(zhì)數(shù)A,B,C更多”。這個(gè)證明可以推廣到多個(gè)質(zhì)數(shù)的情形,即若2,3,5,7,11??,P為所有不大于P
3、的質(zhì)數(shù),則2×3×5×7×11×??×P+1=N數(shù)N或者是質(zhì)數(shù),或者所有的質(zhì)因子都大于P。在他之前約200年,另一位古希臘學(xué)者芝諾(Zenon,公元前496~前429)曾提出一個(gè)著名的“追龜”詭辯題。從中,我們可以看到當(dāng)時(shí)人類對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí),及理解上的局限。大家知道,烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱,阿基里斯則是古希臘傳說(shuō)中的英雄,善跑的神。芝諾斷言:阿基里斯與龜賽跑,將永遠(yuǎn)追不上烏龜!芝諾的理由是:如圖所示假定阿基里斯現(xiàn)在A處,烏龜現(xiàn)在T處。為了趕上烏龜,阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)T,當(dāng)他到達(dá)T點(diǎn)時(shí),烏龜已前進(jìn)到T1點(diǎn);當(dāng)他到達(dá)T1點(diǎn)時(shí),烏龜又已
4、前進(jìn)到T2點(diǎn),如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過(guò)的地方,烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離。因此,阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?!芝諾的論斷顯然與常理相悖。由于當(dāng)時(shí)人類只有粗糙的無(wú)限觀念,數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)錯(cuò)誤地認(rèn)為:無(wú)限多個(gè)很小的量,其和必為無(wú)限大。芝諾正是巧妙地鉆了這個(gè)空子:把有限長(zhǎng)的線段分成無(wú)限多個(gè)很小線段的和;把有限的時(shí)間可以完成的運(yùn)動(dòng),分成無(wú)限多段很短的時(shí)間來(lái)完成。芝諾的“追龜”問(wèn)題,無(wú)疑是向當(dāng)時(shí)錯(cuò)誤的“無(wú)限”觀念提出了挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)家們感到數(shù)學(xué)面臨著潛在的危機(jī)!后來(lái)人們終于弄清楚,要克服上述危機(jī),需要一場(chǎng)觀念上的革命。即無(wú)限多個(gè)很小的量的和,未
5、必是無(wú)限大!“無(wú)限”地累加,也可能得出有限的結(jié)果!讓我們?cè)倏匆豢醋俘攩?wèn)題。設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?,龜在前?00洣。當(dāng)阿基里斯跑了100洣時(shí),龜已前進(jìn)了10洣;當(dāng)阿基里斯再追10洣時(shí),1龜又前進(jìn)了1洣;阿再追1洣;龜又進(jìn)了洣,??。于是:阿基里斯追上100烏龜所跑的路程S:(單位洣)11S=100+10+1+++??10100上式右端是無(wú)限多個(gè)很小量的和,然而它卻是有限的!為了讓讀者理解這一點(diǎn),我們先從等比數(shù)列的知識(shí)講起。一個(gè)數(shù)列,如果從第二項(xiàng)起每項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是個(gè)常數(shù),我們把這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,常數(shù)叫這個(gè)等比數(shù)列的公比,例如①1
6、,2,22,23,24,??263②1,7,72,73,74??都是等比數(shù)列。現(xiàn)在假定有一等比數(shù)列,第一項(xiàng)為a,公比為q∶a,aq,aq2,??,aqn-1怎樣去求它的前n項(xiàng)和Sn呢?一個(gè)頗為巧妙的辦法是:把Sn乘以q,然后錯(cuò)位相減,即:Sn=a+aq+aq2+??+aqn-1q·Sn=aq+aq2+aq3+aqnSn(1-q)=a-aqnna(1-q)Sn=1-q這樣,我們得出了一個(gè)很有用的公式。當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q的絕對(duì)值小于1時(shí),數(shù)列的項(xiàng)無(wú)窮遞縮,越來(lái)越趨近于0。此時(shí),雖然項(xiàng)數(shù)有無(wú)限多個(gè),但它們的和卻是個(gè)有限的數(shù)。事實(shí)上,當(dāng)0<|q|
7、<1時(shí):S=a+aq+aq2+?+aqn-1+?=limSnn→¥na(1-q)=limn→¥1-qa=1-q上式中符號(hào)“l(fā)im”,“是英語(yǔ)limit(極限)一詞的縮寫”。表示“當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)某式的極限”。應(yīng)用上述公式可以算得追龜問(wèn)題中阿基里斯的追及路程:11S=100+10+1+++??102101001000==(洣)191-10與古希臘相比,我們的祖先對(duì)“無(wú)限”的概念可要明確得多。幾乎與芝諾處于同一時(shí)代的墨子(公元前468~前367)就曾提出過(guò)“莫不容尺,無(wú)窮也”的見(jiàn)解。這就是說(shuō),有這樣一種量,用任意長(zhǎng)的線段去量它,它都能容納得下。
8、這是明顯的“無(wú)限”的思想。稍后于墨子的《莊子》一書,更提到“至大無(wú)外,至小無(wú)內(nèi)”。前半句講的是無(wú)限大,后半句講的是無(wú)限小。該書《天下篇》中還有一句名言:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭!”意思是