一個(gè)新型的期權(quán)定價(jià)二叉樹參數(shù)模型

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1、2000年11月系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐第11期文章編號(hào):1000-6788(2000)11-0090-04一個(gè)新型的期權(quán)定價(jià)二叉樹參數(shù)模型張鐵(東北大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧沈陽(yáng)110006)摘要:對(duì)目前普遍使用的期權(quán)定價(jià)二叉樹模型的缺陷進(jìn)行了分析,利用隨機(jī)誤差校正方法構(gòu)造出新型的二叉樹參數(shù)模型.新的模型避免了負(fù)的概率并且具有很高的精確度,因而可應(yīng)用于計(jì)算各種期權(quán)的價(jià)格.關(guān)鍵詞:期權(quán)定價(jià);二叉樹模型;參數(shù)構(gòu)造中圖分類號(hào):O29;F830.91⒇ANewTypeofBinomialTreeParameterModelforOptionPricingZHANGTie(Deaprtmen

2、tofMathematics,NortheasternUniversity,Shenyang110006)Abstract:Thedefectsareanalyzedfortheusualbinomialtreemodelofoptionpricing.Anewtypeofbinomialtreeparametermodelisconstructedbymeansofstochasticerrorcorrectingmethod.Thenewmodelcanavoidnegativeprobabilityandpossessesveryhighaccuracy,the

3、reforeitcanbeareappliedtovariousoptionpricing.Keywords:optionpricing;binomialtreemodel;parameterconstructing1引言期權(quán)是最重要的金融衍生工具之一.自1973年在美國(guó)首次進(jìn)行場(chǎng)內(nèi)期權(quán)交易以來(lái),期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展十分迅猛.現(xiàn)在,期權(quán)在世界各地的不同交易所中都有交易.期權(quán)是一種賦予持有者在將來(lái)某一確定時(shí)間以某一確定價(jià)格購(gòu)買或出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利,標(biāo)的資產(chǎn)可以是股票、股票指數(shù)、外匯、期貨合約和商品等.對(duì)于歐式期權(quán),Black和Scholes早已給出解析形式的定價(jià)公式[1].然

4、而,對(duì)于美式看跌期權(quán)的價(jià)格,并不存在這樣的解析公式,也無(wú)法求得精確解.因此,發(fā)展各種計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值方法具有重要的實(shí)際意義.目前比較成熟的數(shù)值方法有三類:蒙特卡羅方法,樹圖方法,偏微分方程數(shù)值方法(包括有限差分和[2,3]有限元方法).在樹圖方法中,最常用的是二叉樹模型.盡管人們已經(jīng)知道目前普遍使用的二叉樹參數(shù)模型帶有缺陷(例如,在某種情況下將產(chǎn)生負(fù)的概率),但一直沒有獲得更好的參數(shù)選擇.本文將借助于隨機(jī)誤差校正的思想,重新構(gòu)造二叉樹參數(shù)模型.新的模型永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生負(fù)的概率且具有很高的計(jì)算精度,因而可實(shí)際應(yīng)用于各種美式看跌期權(quán)的定價(jià).本文模型自然可推廣到三叉樹等更

5、高階的樹圖方法中.為明確起見本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為股票.在論證中用S表示股票的當(dāng)前價(jià)格,E為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格,F為期權(quán)價(jià)格,_為股票的預(yù)期收益率,e為股票價(jià)格波動(dòng)率,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,T為期權(quán)執(zhí)行日期.進(jìn)一步假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的,在期權(quán)有效期內(nèi)股票無(wú)紅利支付.2期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型⒇收稿日期:1999-04-12資助項(xiàng)目:國(guó)家教育部商校骨干教師資助基金第11期一個(gè)新型的期權(quán)定價(jià)二叉樹參數(shù)模型91考慮一個(gè)不付紅利股票期權(quán)的估值.將期權(quán)的有效期(當(dāng)前時(shí)刻至期權(quán)的執(zhí)行日期)分為N個(gè)時(shí)間間隔為△t的時(shí)間段.假設(shè)在△t時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格從起始值S分別以概率p和1-p隨機(jī)移動(dòng)到兩個(gè)新值Su和

6、Sd中的某一個(gè).設(shè)u>1,d<1,則從S到Su是價(jià)格上升運(yùn)動(dòng),而從S到Sd是價(jià)格下降運(yùn)動(dòng).設(shè)當(dāng)2前時(shí)刻為t=0.則△t時(shí)刻,股票價(jià)格有2種可能:Su和Sd;2△t時(shí)刻,股票價(jià)格有3種可能,Su,Sud和2Sd.以此類推,m△t時(shí)刻,股票價(jià)格有m+1種可能:Sjm-jmj=Sud,j=0,1,…,m;m=1,2,…,N(1)這樣我們就得到了股票價(jià)格二叉樹樹圖,參見圖1.記Fm,j(j=0,1,…,m)為m△t時(shí)刻樹圖節(jié)點(diǎn)(m,j)處的期權(quán)值.由于T時(shí)刻期權(quán)價(jià)值是確定的,例如,看跌期權(quán)的價(jià)值為FN=max(E-SN,0),SN為T=N△t時(shí)刻的股票價(jià)格,則首先從(1)式可

7、得到T時(shí)刻可能的股票價(jià)格和相應(yīng)的期權(quán)值SjN-jNj=Sud,FNj=max(E-SNj,0),j=0,1,…,N(2)然后,我們可以通過(guò)樹圖倒推計(jì)算得到t=m△t時(shí)刻的期權(quán)值Fm,j(m=N-1,…,1,0).樹圖倒推計(jì)算的基本思想是:由于假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,所以m△t時(shí)刻樹圖中節(jié)點(diǎn)(m,j)處的期權(quán)價(jià)格可用(m+1)△t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)(m+1,j+1)和(m+1,j)處期權(quán)價(jià)格的期望值在△t時(shí)間內(nèi)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)圖1股票期權(quán)估值的二叉樹樹圖得到,即-r△tFm,j=e[pFm+1,j+1+(1-p)Fm+1,j],j=0,1,…,m,0≤m≤N-1