小學奧數(shù)之裂項.doc

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1、這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：　?。?）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]　?。?）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]　?。?）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)　　（5）n·n!=(n+1)!-n!公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數(shù)列的通項結構)　　1、分

2、組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n　　2、錯位相減法求和：如an=n·2^n　　3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)　　4、倒序相加法求和：如an=n　　5、求數(shù)列的最大、最小項的方法：　?、賏n+1-an=……如an=-2n2+29n-3　　②(an>0)如an=　?、踑n=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如an=an^2+bn+c(a≠0)　　6、在等差數(shù)列中,有關Sn的最值問題——常用鄰項變號法求解：　　(1)當a1>0,d<0時，滿足{an}的項數(shù)m使得Sm取最大值.　　(2)當a1<0,d>0時，滿足{an}的項數(shù)m使得Sm取最小值.　　在解

3、含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉化思想的應用。對于較長的復雜算式，單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結果的。如果算式中每一項的排列都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個規(guī)律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。通常的做法是：把算式中的每一項裂變成兩項的差，而且是每個裂變的后項（或前項）恰好與上個裂變的前項（或后項）相互抵消，從而達到“以短制長”的目的?！　∠旅嫖覀円哉麛?shù)裂項為例，談談裂項法的運用，并為整數(shù)裂項法編制一個易用易記的口訣?！　±?、計算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100　　分析：這個算式實際上可

4、以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、5……98、99、100，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個數(shù)為2?！　?×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）　　2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）　　3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）　　4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）　　……　　98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）　　99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）　　將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，

5、右邊括號里面諸多項相互抵消，可以簡化為（99×100×101-0×1×2）÷3?！　〗猓?×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100　　=（99×100×101-0×1×2）÷3　　=333300計算之裂項習題1計算之裂項習題2