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《一道課本習(xí)題的拓展、推廣及變式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、2012年第3期中學(xué)數(shù)學(xué)研究31一道課本習(xí)題的拓展、推廣及變式浙江省紹興市高級(jí)中學(xué)(312000)阮偉強(qiáng)一、問題的提出方程為X0+。。(為參數(shù))，代入橢圓方程并浙江省自2009年起實(shí)施新課程高考，其中的一ty=Y0+tsin0個(gè)改革舉措是：凡報(bào)考重點(diǎn)大學(xué)的學(xué)生需外加一門整理，得總分為60分的自選科目(不分文理科)，考生需在全(b2COS。0+0sin0)t+2(b2xocosO+a2yosin0)t卷設(shè)置的18個(gè)試題(每個(gè)自選模塊配一個(gè)，分值均+(b2x0+0,2Yo一a2b)=0．為10分)中任選6個(gè)作答．為減輕學(xué)習(xí)壓力，大多數(shù)設(shè)此方程的
2、兩根為￡，￡2，則lPAI·IPl=考生均選擇其中的7至8個(gè)模塊進(jìn)行重點(diǎn)學(xué)習(xí)，而數(shù)-．--=-理，學(xué)的兩個(gè)模塊“不等式選講”與“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”，尤其是后者，成了所有文理科考生的必選模對(duì)于直線CD，將0換為萬一0，可得塊，這無疑加大了該內(nèi)容的教與學(xué)的要求．因此，當(dāng)IPCl·IPDl：筆者在進(jìn)行課本中如下例4的教學(xué)時(shí)，面對(duì)學(xué)生不60+a2Yo一2ll經(jīng)意的發(fā)問，順勢(shì)開始了一次探索之旅．。b2COS(7r一0)+0sin(t7r一0)。60。+a2y2b(人教A版選修4—4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第o一IJ一。b2cos20+口sin20。’38
3、頁(yè))所以IPA1．IPBI={PC『．fPDI．面對(duì)上述優(yōu)美結(jié)果，學(xué)生都顯得有些興奮，感覺P很像圓中的“相交弦定理”，而圓中有“割線定理”，A條B相，C交D弦與橢，交圓點(diǎn)長(zhǎng)軸為的．夾兩角曩弦分乏上那么橢圓中有“割線定理”嗎?而從例題的證明過程容易看出，若點(diǎn)P在橢圓外部，也必有f『．f胎f=lPCl·IPDl成立．這樣，問題可拓展為下例結(jié)論．結(jié)論：已知橢圓+告=1(0>b>0)的兩條弦AB、CD所在直線的交點(diǎn)為P，且它們的傾斜角互補(bǔ)，則lPAl·IP日l=IPCl·lPDl(即A、B、C、D四點(diǎn)共圓)．二、問題的推廣同時(shí)為零)，則。與f重合B
4、：一AB=0且0(其中A1，B1不同時(shí)為零)，f2：2+B2Y-4-C2：0，B1C2一B2Cl=0．’’(其中A，日：不同時(shí)為零)，則z。與f重合這個(gè)命題也是錯(cuò)誤的．在例1中，當(dāng)=0時(shí)，rAlB2—2B1=0』’(一。)～(3。一)‘2。=0§{BlC2一2C】=0·[．即2a·(一1)一(一0)·(一1)≠0。LA1C2一A2C1=0fABz—Az=0，但此時(shí)f：一1：0，2：：+1：證明：(限于篇幅，證明略)．L1C2一B2C1≠0參考文獻(xiàn)0兩條直線平行．[1]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))人教A必修2
5、『M]．北京：人民教育出版社，2010年．結(jié)論2：設(shè)兩條直線分別為f：A+BY+C1=32中學(xué)數(shù)學(xué)研究2012年第3期那么，將橢圓換成拋物線或雙曲線，是否還有類整理得(0一b。)(sin—sin)=0，考慮到a似的結(jié)論?≠b，則sin—sin=0，即sina=si，因?yàn)镺l≠探究：已知拋物線Y=2px(p>0)的兩條弦，故Ol+=丌，即兩弦所在直線的傾斜角互補(bǔ)．AB、CD所在直線的交點(diǎn)為P，且它們的傾斜角互補(bǔ)，同理可證對(duì)拋物線和雙曲線也成立，這樣，便得試問lPAl·lPI=}PC1．IPDI成立嗎?下列定理．分析：將直線AB的參數(shù)方程X0+
6、把。(定理：如果圓錐曲線(標(biāo)準(zhǔn)方程下)的兩條弦Ly=Yo+tsinOAB、CD所在直線的交點(diǎn)為P，且Il·IPBI：為參數(shù))代入拋物線物方程，整理得(sin0)t+IPCI·IPDl，那么這兩條直線的傾斜角互補(bǔ)．2(YosinO—pcosO)t+(Y0一2pxo)=0，所以四、問題的變式完成上述探究后，有學(xué)生意外提出：若兩條弦IPAI．IPBI=I2I=lI．再用7r一替AB、CD所在的直線互相垂直(想到又一種特殊位置)時(shí)，是否也有優(yōu)美的結(jié)論?現(xiàn)以橢圓為例進(jìn)行研換上述結(jié)果中的，便得IPCI．1PDl：I究．l，故lPA1．I船l=IPCl·
7、lPDI．分析：若設(shè)直線AB的傾斜角為Ol，則可得對(duì)雙曲線x一=1(。>0，b>0)，我們只需ll11．．11PBll：=II—_—-二下II，考慮到直線DcoS0c+aSin將橢圓證明過程中的b。用一b替換，就可得到CD與AB垂直，則其傾斜角為(7r／2)+Ol(或Ol一fPAf·lPl=lPCI·IPDl=(~r／2))，代入上式可得lPC1．IPDl=llb21．于是，推廣后可得到下面的I，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)20—0sin20。?！疞J。qcos兒l1-【上U“定理．11_丁兩+丁=定理：如果圓錐曲線(標(biāo)準(zhǔn)方程下)的兩條弦b2c0s+Ⅱsin
8、0[+b2sin20c+ocosAB、CD所在直線的交點(diǎn)為P，且它們的傾斜角互補(bǔ)，60+。一a2b則lPAl·IPl：lPCI·IPDl(即A、B、C、D四點(diǎn)+6。共圓)．三、逆
