導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中幾種特殊處理方法的運(yùn)用

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1、1O數(shù)學(xué)通訊——20l3年第1、2期(上半月)·輔教導(dǎo)學(xué)·導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中幾種特殊處理方法的運(yùn)用姚尉林孫婷婷(湖北省武漢市水果湖高中，430071)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題再令g(x)=z一(1+．z)ln(1+z)，則g(z)時(shí)具有獨(dú)特的作用，在高考題中，以導(dǎo)數(shù)為載體的一1一(1+z)·÷一一In(1+z)一一In(1+z)問(wèn)題豐富多彩，新穎別致，深不可測(cè)，而近幾年的1十高考題對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查廣度和深度也在不斷加強(qiáng)，<0，故g(z)在(0，+。。)上為減函數(shù)，所以g(z)有的問(wèn)題難度大，技巧性強(qiáng)．本文結(jié)合近幾年(尤

2、是2012年)的高考題談?wù)剬?dǎo)數(shù)問(wèn)題中幾種特殊處理方法的運(yùn)用，需要說(shuō)明的是：所有例題都只摘廠(z)一在z∈(o，+。。)上為減函數(shù)，．要給出了與本文主題有關(guān)的條件和問(wèn)題．于是原命題得證．1．二次求導(dǎo)例3(2012年湖南省高考題)已知函數(shù)廠(z)例1(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷高考題)求函數(shù)一e一，其中。≠0，若對(duì)于任意z∈R，不等式1廠()一一+寺厶z的單調(diào)區(qū)間．_廠()≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．分析易得f(z)一e一1+X，并不能直接解若a<0，則>0時(shí)，廠(z)一e一<1，因此不可能有廠(z)≥1恒成立，而n≠0，所以判斷其符號(hào)，這時(shí)想到再次求導(dǎo)，先研究f()的導(dǎo)

3、函數(shù)．a(chǎn)>0．1解因?yàn)閺S(z)一一z+妻z，則f(．z)=而廠(z)一～1，令廠()一0，得Iz一厶一1+．·In．若f(z)>0，則z>!ln；若f(z)<記g()一e一1+X，則g(z)一e+1>0，0，則z0；111當(dāng)z∈(一Cx3，O)時(shí)，f(z)<0．——一——ln一．a(chǎn)aa因此，(z)的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)為(O，+。。)，單因此，不等式廠(z)≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)調(diào)遞減區(qū)間為(一。。，O)．．例2(2012年湖北高考樣卷題)

4、證明：>?tIn1≥1①>0時(shí)，(1+n)<(1+m)”．又令g(￡)=t-tlnt，則g(￡)一一lnt．令g()分析不等式的形式不明朗，可以先取對(duì)數(shù)>0，得01．所以轉(zhuǎn)化．EgO)]=：：g(1)一1．證明要證明(1+n)<(1+m)”，只需證因此，當(dāng)且僅當(dāng)一1—1即a一1時(shí)，①式成立．明：in(1+)0

5、，所以只需證明／(-z)一究前一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，使得相關(guān)信息浮出水面，在z∈(o，+。。)上為減函數(shù)即可．而使得前一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)明朗化．例3則是對(duì)另一個(gè)函數(shù)再次求導(dǎo)，得到這一個(gè)函數(shù)的信息后使得問(wèn)r_一in(1+工)題得以順利解決．對(duì)導(dǎo)函數(shù)或者導(dǎo)函數(shù)的一部分再z)一次求導(dǎo)，是近幾年高考題中經(jīng)常需要用到的處理方z一(1+)ln(1+38)法．求導(dǎo)的作用就是通過(guò)求極值點(diǎn)確定函數(shù)的單調(diào)一一——一’區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值(或極值)，只要明白這·輔教導(dǎo)學(xué)·數(shù)學(xué)通訊——2O13年第1、2期(上半月)11個(gè)道理，對(duì)函數(shù)多次求導(dǎo)是很自然的事．因此，當(dāng)z>0時(shí)，2．分類討論F，(z)

6、一一±盟；>0，例4(2012年天津高考題)已知函數(shù)_廠(z)Z一X—in(x+1)，對(duì)于任意的z∈[O，+oo)有所以F(z)在X∈(O，+Cx3)時(shí)為單調(diào)增函數(shù)．廠(z)≤如成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．又因?yàn)閘imF(z)一lim—ex-e-X解當(dāng)k≤0時(shí)，取z一1，則廠(1)：1一ln2—斗O+z·0+．7c>0，不合題意；當(dāng)k≥0時(shí)，令F()一廠(z)一一X-ln(x一1im二二：二po+z一0+1)一缸。，則一(一e-)I；oFt(z)一南一2kx一(+e一)l：。一2，所以，當(dāng)∈(O，+。。)時(shí)，有F(z)>2，所以x[2kx一(1—2k)]一一———F廣一’

7、a≤2．因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一。。，2]．令F(z)：0，得Xl一0，z一>一1．評(píng)注分類討論、分離參數(shù)是解決此類問(wèn)題(1)當(dāng)忌≥1時(shí)L絲≤0的兩種典型方法．，，F(xiàn)()<0，4．羅必達(dá)法則F()在∈[0，+cx3)上單調(diào)遞減，從而總有例4的解法2分離參數(shù)，二次求導(dǎo)．F(z)0，對(duì)于立．z∈(O’F