多重調(diào)和Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子-論文.pdf

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1、2014年8月純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)Aug.2014第30卷第4期PureandAppliedMathematicsVo1.30NO.4多重調(diào)和Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子孫志玲,孫燕f內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼028000)摘要:完全刻畫(huà)多重調(diào)和Bergman空間上Toeplitz算子和Hankel算子的緊性.運(yùn)用緊Toeplitz算子這個(gè)結(jié)果,建立了Toeplitz代數(shù)和小Hankel代數(shù)的短正合列,推廣了單位圓盤(pán)上相應(yīng)的結(jié)果.關(guān)鍵詞:多重調(diào)和Bergman空間;緊Toeplitz算子;Toeplitz代數(shù);小Hankel代數(shù)中圖分類號(hào):0177.1

2、文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008—5513(2014)04—0393—13DOI:10.3969/j.issn.1008—5513。2014.04.0091引言令Cn為n維復(fù)向量空間,和分別代表C中的單位球和單位球面.對(duì)C中的點(diǎn):(1,.一,)和∈=(∈1,.一,),令(,∈)=∑勺,其中是白的復(fù)共軛,并且Izl:.令Ⅳ0n表示分量在非負(fù)整數(shù)No中的佗一元數(shù)組組成的集合.對(duì)一個(gè)多重指標(biāo)=(1,.一,Cg)∈Non和=(1,·一,)∈c札,記=O1l··‘.如果:(1,2,?,)∈No,令=Ogl+?+代表它的長(zhǎng)度,并且!=al!?an!.對(duì)NOn中兩個(gè)多重指標(biāo)=(1,2,?,)和=(1,2

3、,?,),表不i=1,2,·一,n,,j_表示alfl~+22+?+n盧n=0定義一=(1一1,2一2,···,n一)收稿日期:2014—04—03.基金項(xiàng)目:內(nèi)蒙古民族大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金(BS311).作者簡(jiǎn)介:l,l、志玲(1979一),博士,講師,研究方向:函數(shù)空間中的算子理論394純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)第30卷并且,當(dāng)&時(shí),有f一f=ff—ff.。(B,d)是B上Lebesgue平方可積的Hilbert空間,其上的內(nèi)積定義為(,,g)=/f(z)g(z)dv(z),t,皿憶其中d是B上通常正規(guī)化球測(cè)度.多重調(diào)和Bergman空間L是L(B,dv)中由所有多重調(diào)和函數(shù)組成的閉子空問(wèn),因

4、此是Hilbert空間;Bergman空間是0(B,d)中由所有全純函數(shù)組成的閉子空間.單位球上的一個(gè)多重調(diào)和函數(shù).廠可以分f=g+h,其中9和h是全純函數(shù).而且,如果,是_L。(B,dTfj)中的函數(shù),則夕和h都在中.顯然,Bergman空間是多重調(diào)和Bergman空間的子空間.令P代表(,du)到上的正交投影.對(duì)∈∞(B,dr),Bergman空問(wèn):上的Toeplitz算子:和Hankel算子日:L上分別定義為:,=P(,),H,f=(』一P)(t,),f∈,其中是恒等算子.一個(gè)帶有符號(hào)≯的簡(jiǎn)化的(1ittle或者reduced)Hankel算子定義為:,he(f)=(,),f∈,其中

5、表示(B,dr)到上的正交投影.如果Po是到常數(shù)的秩l投影,則Pof:f(z)dv(z),容易看出一P—Po一P(即一Po的值域包含在一P的值域中).在這種情形,he比“更小”,這就是為什么稱是簡(jiǎn)化的Hankel算子.因此是有界的(或是緊的)表明he是有界的(或是緊的).在Bergman空間上,小(smal1)Hankel算子r西定義為:Fcf=P(.廠),f∈L。。其中是(B,d)_÷2(Bn,dv)的酉算子,并且(Uf)(z)=,(),z=(Zl,Z2,···,)∈B通過(guò)直接的驗(yàn)證,下面命題成立.命題1.1下列關(guān)系式是成立的其中()=(),對(duì)Z∈B第4期孫志玲等:多重調(diào)和Bergman

6、空間上的Toeplitz算子和Hankel算子395令Q是(B,dv)到上的正交投影.多重調(diào)和Bergman空間2上的帶有符號(hào)的Toeplitz算子和Hankel算子分別定義為:,=Q(,),豆,:(一Q)(,),f∈在上,帶有符號(hào)的小Hankel算子定義為:西,=Q(咖,),f∈顯然,由上面的定義有F=U.文獻(xiàn)?運(yùn)用把單位圓盤(pán)上調(diào)和Bergman空間上的Toeplitz算子分解成Bergman空間上的Toeplitz算子和小Hankel算子的技巧,刻畫(huà)了單位圓盤(pán)的調(diào)和Bergman空間上的緊Toeplitz算子.利用這個(gè)結(jié)果,建立了相應(yīng)的Toeplitz代數(shù)和Hankel代數(shù)的短正合列.

7、本文在單位球B上的多重調(diào)和Bergman空間上研究相應(yīng)問(wèn)題.文獻(xiàn)f2]完全描述了單位球Bergman空間上Toeplitz算子的緊性.文獻(xiàn)『31給出了單位球和多圓盤(pán)上緊Hankel算子的一些等價(jià)條件.文獻(xiàn)f41研究了單位球上Bergman空間上的Toeplitz代數(shù).運(yùn)用這些結(jié)果,刻畫(huà)了多重調(diào)和Bergman空間上的緊Toeplitz和Hankel算子.根據(jù)這些算子緊性的特征,對(duì)函數(shù)E(面),研究了由Toeplitz算子

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