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1、萬(wàn)方數(shù)據(jù)第29卷第11期振動(dòng)與沖擊JOURNALOFⅥBRATIONANDSHOCK附帶有考慮集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的梁固有振動(dòng)分析王棟(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安710072)摘要：研究梁附帶集中質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的橫向彎曲自由振動(dòng)，分析過(guò)程中同時(shí)考慮集中質(zhì)量的平(移)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。探討了梁的固有頻率相對(duì)集中質(zhì)量位置的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算問(wèn)題，并得到了正確的靈敏度計(jì)算公式。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)梁的頻率、振型以及靈敏度都有很大的影響。當(dāng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性較大時(shí)，忽略其影響對(duì)梁的振動(dòng)分析可能帶來(lái)很大的誤差。關(guān)鍵詞：梁一質(zhì)量系統(tǒng)；集中質(zhì)量位置；頻率靈敏度；轉(zhuǎn)動(dòng)慣性；優(yōu)化設(shè)計(jì)中圖分類(lèi)號(hào)：0326
2、文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A實(shí)際工程中，經(jīng)常會(huì)遇到板或梁結(jié)構(gòu)附帶一個(gè)或幾個(gè)集中質(zhì)量的振動(dòng)問(wèn)題。這是振動(dòng)理論分析中一個(gè)非常典型的模型，由于在航空、宇航、機(jī)械、建筑等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，多年來(lái)一直受到人們的重視。有關(guān)梁(Euler—Bernoulli梁)附帶集中質(zhì)量的橫向自由振動(dòng)分析，國(guó)內(nèi)外已有不少文獻(xiàn)或教科書(shū)做過(guò)詳細(xì)研究和推導(dǎo)【1。J。為了突出主要問(wèn)題，降低研究難度，分析過(guò)程中通常都忽略了集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的作用，而只考慮集中質(zhì)量平(移)動(dòng)慣性對(duì)結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)的影響[1“J。這樣簡(jiǎn)化處理雖然能夠快速獲得梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的解，然而當(dāng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性較大時(shí)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況會(huì)相差很大，而且所得到的頻率和振
3、型隨著階次的增高其準(zhǔn)確性也將顯著下降”1。本文研究梁附帶集中質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的橫向自由振動(dòng)和靈敏度分析計(jì)算問(wèn)題。已有研究發(fā)現(xiàn)，集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)振動(dòng)特性的影響效果有時(shí)比平動(dòng)慣性影響效果大"J。因此，為了克服現(xiàn)有模型存在的不足，本文分析中將同時(shí)考慮集中質(zhì)量的平動(dòng)慣性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，以便能夠精確獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性或響應(yīng)，同時(shí)揭示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)梁的固有頻率和振型函數(shù)的影響。另外，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、參數(shù)識(shí)別和模型修改過(guò)程中，一個(gè)具有非常重要意義的計(jì)算需求是梁的固有頻率相對(duì)于集中質(zhì)量位置的靈敏度(一階導(dǎo)數(shù))信息，即集中質(zhì)量位置改變對(duì)梁的動(dòng)態(tài)特性的影響程度。根據(jù)靈敏度值，可以指導(dǎo)附帶集中質(zhì)量位置的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并采用移
4、動(dòng)集中質(zhì)量的方法對(duì)梁的振動(dòng)進(jìn)行控制【6J。因此相關(guān)研究引起人們的普遍重視，是目前一個(gè)引人關(guān)注的領(lǐng)域【卜9
5、。本文將著重探討梁的固有頻率相對(duì)集中質(zhì)量位置的靈敏度計(jì)算公式，并將用數(shù)值方法驗(yàn)證分析結(jié)果的正確性。基金項(xiàng)目：航空基金資助項(xiàng)目(2007ZA53002)收稿日期：2009—09—23修改稿收到日期：2010-07—30作者王棟男，副教授．1962年生1振動(dòng)方程的建立如圖1所示，假設(shè)一勻質(zhì)等截面懸臂梁附帶一個(gè)集中質(zhì)量塊，M是其質(zhì)量(也稱(chēng)乎(移)動(dòng)慣量)，Jr是其繞梁截面形心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！隇榱旱拈L(zhǎng)度，m是梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量，E，表示梁的截面抗彎剛度(E為材料的彈性模量，歹為截面慣性矩)。本文
6、中m和目都是常數(shù)，b表示集中質(zhì)量沿梁軸線(戈軸)的相對(duì)坐標(biāo)。若不考慮阻尼的影響，則梁橫向自由振動(dòng)微分方程為：圖1均質(zhì)等截面懸臂梁附帶一個(gè)集中質(zhì)量Fig．1Auniformbeamwithaconcentratedmflg$,塒””(髫)一A4塒(z)=0(0s石
7、inhA(戈一1)+sinA(戈一1)]+C4[coshA(髫一1)+cosA(髫一1)](b≤菇s1)(2b)上式中的未知常數(shù)ci(i=1—4)以及A可由集中質(zhì)量附加處，梁的變形連續(xù)和力平衡性條件確定。由位移和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性可得：∞，(b一)=鯽：(b+)=伽(b)(3a)訓(xùn)’。(b一)=塒’2(b+)=W7(b)(3b)萬(wàn)方數(shù)據(jù)振動(dòng)與沖擊2010年第29卷由力矩和力的平衡條件可得：≯E1n。(6一)一‘，，(D2加t。(6一)：-譬Wtt2(6+)(3c)銣，，，．(6一)+‰z塒．(6一)：E，，1wm：(6+)(3d)由以上方程可見(jiàn)：在集中質(zhì)量附加處，雖然梁的橫向位移和轉(zhuǎn)角(一階導(dǎo)
8、數(shù))仍然保持連續(xù)性。但如果考慮集中質(zhì)量的慣性，梁位移的二階(彎矩)和三階導(dǎo)數(shù)(剪sinhAb—sinAbcoshAb—cos,tbsinh^6“nA6一等(cosh肌cosab)coshAb+cosAb+aA(sinhAb—sinAb)力)連續(xù)性已不復(fù)存在。將式(1)代人方程(3)，可得關(guān)于C，(i=1—4)的線性齊次代數(shù)方程組。由其系數(shù)行列式為零，可得梁的頻率特征方程。為了表達(dá)清楚起見(jiàn)，以下引入關(guān)于集中質(zhì)量的兩個(gè)相對(duì)慣性量：^一，
