一題多解與一題多變.doc

《一題多解與一題多變.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、一題多解與一題多變浦東新區(qū)彭鎮(zhèn)中學(xué)王國新在幾何證明題中，學(xué)生往往只注意證明結(jié)果，而不注意證明的方法，有時(shí)用的方法過于繁瑣。對于一道題的證明方法往往不是一種方法。在教學(xué)中，我非常注重對幾何證明題的一題多解和一題多變，取得了較好的教學(xué)效果。原題：已知，如圖（1）：∠BAC=90°，BA平分∠DBC，BD⊥DE，CE∥BD。求證：BC=BD+CE。分析：這種題形一般有兩種方法，一種是把一條線段截成兩條線段，另一種是把兩條線段接成一條線段。本題可過點(diǎn)A做AF⊥BC，F(xiàn)為垂足，分別證BF=BD，CF=CE

2、即可?；蜓娱LBD、CA交與點(diǎn)F，再證BF=BC。證法一，過點(diǎn)A作AF⊥BC、F為垂足。在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(A,A,S)∴BD=BF，∠BAD=∠BAF，∠D=∠AFB(全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.)∵∠BAF+∠CAF=90°(垂直定義),∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°(平角定義)∴∠DAB+∠EAC=90°(等式性質(zhì))∴∠CAF=∠CAE(等角的余角相等)∵CE∥BD(已知)∴∠D+∠E=180°(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)∵∠AFB+∠AFC=180

3、°(平角定義)∴∠E=∠AFC(等角的補(bǔ)角相等)在△ACF和△ACE中∴△ACF≌△ACE(A.A.S)∴CE=CF(全等角形三的對應(yīng)邊相等)∴BD+CE=BF+FC既BC=BD+CE證法二,延長CE,BA交于F.∵BD∥CE(已知)∴∠F=∠DBA(二直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.)∵∠ABD=∠ABC(已知)∴∠F=∠ABC（等量代換）∴CB=CF（等角對等邊）∵∠CAB=90°(已知)∴AB=AF（等腰三角形三線合一）在△ABD和△AEF中∴△ABD≌△AEF（A.S.A）∴BD=EF(全等三角形

4、的對應(yīng)邊相等)∵CF=CE+EFCB=CF∴CB=CE+BD證法三，在CB上取一點(diǎn)F，使BF=BD，連接AF，在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(S.A.S)∴∠BAD=∠BAF∠D=∠AFB=90(全等三角形的對應(yīng)角相等)∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°(已知)∠DAB+∠BAF+∠CAF+∠CAE=180°(平角定義)∴∠BAD+∠CAE=90°(等式性質(zhì))∴∠CAE=∠CAF(等角的余角相等)∵CE∥BD(已知)∴∠D+∠E=180°(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)∵∠D=90

5、°(垂直定義)∴∠E=90°(等式性質(zhì))在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF(A,A,S)∴CF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE證法四,在CB上取一點(diǎn)F，使CF=CE，連接AF。以下同證法三類似，略。變式：本題可改編以下幾個(gè)題目：1，如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BD∥CE，求證：BC=BD+CE。證明：在CB上取一點(diǎn)F，使BF=BD，連接AF，在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(S.A.S)∴∠D=∠AFB(全等三角形的對應(yīng)角

6、相等)∵BD∥CE（已知）∴∠D+∠E=180°(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)∵∠AFB+∠AFC=180°(平角定義)∴∠E=∠AFC(等角的補(bǔ)角相等)在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF(A,A,S)∴CF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE還可以用上面證法二的方法證明，略。2，如圖，BA平分∠DBA，DA=DE，∠BAC=90°，求證：BC=BD+CE。3，如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，，BC=BD+CE，求證：BD∥CE。4，如圖，

7、BA平分∠DBA，DA=DE，BC=BD+CE，求證：BD∥CE。5，如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BC=BD+CE，求證∠BAC=90°。6，如圖，DA=DE，BD∥CE，BC=BD+CE，求證：BA平分∠DBA。以上題目的證法與上面的證法類似。通過對這道題的多種解法的訓(xùn)練和題目的多種變化，較好地提高了學(xué)生對這類問題的分析解答能力，特別是對輔助線的作法，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。